Das Skalarprodukt
Das Skalarprodukt gehört zu den wichtigsten Werkzeugen der Vektorrechnung und der analytischen Geometrie. Auf dieser Seite findest du zahlreiche Aufgaben mit Lösungen, PDF-Arbeitsblätter und Lernvideos rund um das Skalarprodukt und seine Anwendungen.
Du lernst, wie man mit dem Skalarprodukt prüft, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen, wie der Winkel zwischen Vektoren bestimmt wird und welcher Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Vektorbetrag besteht. Darüber hinaus behandeln wir typische Klausur- und Abituraufgaben zur Untersuchung geometrischer Figuren, Dreiecke, Quader, Geraden und weiterer Anwendungen der Vektorrechnung.
Alle Inhalte sind thematisch geordnet und mit passenden Lernvideos, Übungsaufgaben und Arbeitsblättern verknüpft. Dadurch eignet sich die Seite sowohl zum systematischen Lernen als auch zur gezielten Vorbereitung auf Klausuren und das Abitur.
Du lernst, wie man mit dem Skalarprodukt prüft, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen, wie der Winkel zwischen Vektoren bestimmt wird und welcher Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Vektorbetrag besteht. Darüber hinaus behandeln wir typische Klausur- und Abituraufgaben zur Untersuchung geometrischer Figuren, Dreiecke, Quader, Geraden und weiterer Anwendungen der Vektorrechnung.
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Inhalt dieser Seite
Herleitung des Skalarprodukts
m13v0369 In diesem Video geht es um die Herleitung des Skalarprodukts. Ausgehend von der Frage, welchen Winkel zwei Vektoren einschließen, macht man sich zunächst klar, dass zwei Vektoren ein Dreieck aufspannen. Mit Hilfe des Kosinussatzes wird dann eine Formel entwickelt, mit der man den Winkel der beiden Vektoren bestimmen kann. In dieser Formel kommt ein besonderer Term vor, den man als sogenanntes Skalarprodukt definiert hat. | auf teilen
m13v0369 In diesem Video geht es um die Herleitung des Skalarprodukts. Ausgehend von der Frage, welchen Winkel zwei Vektoren einschließen, macht man sich zunächst klar, dass zwei Vektoren ein Dreieck aufspannen. Mit Hilfe des Kosinussatzes wird dann eine Formel entwickelt, mit der man den Winkel der beiden Vektoren bestimmen kann. In dieser Formel kommt ein besonderer Term vor, den man als sogenanntes Skalarprodukt definiert hat. | auf teilen
Eigenschaften des Skalarprodukts bei Rechenoperationen
Zeige, dass das Assoziativgesetz nicht für das Skalarprodukt gilt
m13v0664 Welche Rechengesetze gelten für das Skalarprodukt? - Zeige durch ein Gegenbeispiel, dass das "Assoziativgesetz" für das Skalarprodukt nicht gilt. | auf teilen
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m13v0664 Welche Rechengesetze gelten für das Skalarprodukt? - Zeige durch ein Gegenbeispiel, dass das "Assoziativgesetz" für das Skalarprodukt nicht gilt. | auf teilen
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Für welchen Wert von a sind die Skalarproduktgleichungen erfüllt?
m13v0663 Hier sollst du Vektorgleichungen lösen, in denen das Skalarprodukt vorkommt... Ein häufig vorkommender Aufgabentyp. | auf teilen
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m13v0663 Hier sollst du Vektorgleichungen lösen, in denen das Skalarprodukt vorkommt... Ein häufig vorkommender Aufgabentyp. | auf teilen
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Anwendungen des Skalarprodukts
Prüfen, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen; Bestimmung orthogonaler Vektoren
Mit Skalarprodukt prüfen, ob zwei Vektoren (orthogonal) senkrecht zueinander.
m13v0220 In diesem Video lernst du, wie man mit Hilfe des Skalarprodukts überprüfen kann, ob zwei Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander stehen.
Dies ist eine wichtige Grundanwendung des Skalarprodukts, die in vielfacher Weise angewendet wird. | auf teilen
m13v0220 In diesem Video lernst du, wie man mit Hilfe des Skalarprodukts überprüfen kann, ob zwei Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander stehen.
Dies ist eine wichtige Grundanwendung des Skalarprodukts, die in vielfacher Weise angewendet wird. | auf teilen
Mit Skalarprodukt schnell senkrechten Vektor finden
m13v0158 Wenn man einen Vektor gegeben hat und ganz schnell irgendeinen Vektor sucht, der zu diesem Vektor senkrecht (orthogonal) steht, so kann man dies ganz ohne Rechnen und ganz schnell machen. Dieses Video zeigt wie das geht. | auf teilen
m13v0158 Wenn man einen Vektor gegeben hat und ganz schnell irgendeinen Vektor sucht, der zu diesem Vektor senkrecht (orthogonal) steht, so kann man dies ganz ohne Rechnen und ganz schnell machen. Dieses Video zeigt wie das geht. | auf teilen
Sind die beiden abgebildeten Vektoren senkrecht zueinander?
m13v0642 Sind zwei Vektoren, die augenscheinlich senkrecht aufeinander stehen, tatsächlich senkrecht zueinander? - Mit dem Skalarprodukt kann man dies überprüfen... | auf teilen
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m13v0642 Sind zwei Vektoren, die augenscheinlich senkrecht aufeinander stehen, tatsächlich senkrecht zueinander? - Mit dem Skalarprodukt kann man dies überprüfen... | auf teilen
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Skalarprodukt: Orthogonalitätskriterium bei Vektoren anwenden
m13v0747 Mit diesen Aufgaben kannst du überprüfen, ob du (1.) das Orthogonalitätskriterium anhand des Skalarproduktes und (2.) die Konstruktion neuer Vektoren durch Vektoraddition bzw. -subtraktion verstanden hast. | auf teilen
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m13v0747 Mit diesen Aufgaben kannst du überprüfen, ob du (1.) das Orthogonalitätskriterium anhand des Skalarproduktes und (2.) die Konstruktion neuer Vektoren durch Vektoraddition bzw. -subtraktion verstanden hast. | auf teilen
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Bestimmung des Winkels zwischen Vektoren
Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
m13v0221 In diesem Video lernst du, wie man mit Hilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kannst.
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m13v0221 In diesem Video lernst du, wie man mit Hilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kannst.
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Innenwinkel im Dreieck mit Skalarprodukt bestimmen
m13v0516 Gegeben sind die Punkte eines Dreiecks und man soll die Innenwinkel bestimmen.
Dies ist eine typische Anwendungsaufgabe zur Kosinusformel des Skalarprodukts zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren.
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m13v0516 Gegeben sind die Punkte eines Dreiecks und man soll die Innenwinkel bestimmen.
Dies ist eine typische Anwendungsaufgabe zur Kosinusformel des Skalarprodukts zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren.
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Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Vektorbetrag
Die "Skalarprodukt-Formel" zur Berechnung der Länge eines Vektors
m13v0432 In diesem Video wird eine interessante Eigenschaft des Skalarproduktes besprochen, nämlich der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Vektorlänge (Betrag des Vektors). | auf teilen
m13v0432 In diesem Video wird eine interessante Eigenschaft des Skalarproduktes besprochen, nämlich der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Vektorlänge (Betrag des Vektors). | auf teilen
Eigenschaften des Skalarproduktes untersuchen
m13v0782 Rechenregeln, die wir von Zahlen kennen, gelten nicht unbedingt für Vektoren. Hier sollst du zeigen, dass eine Beziehung, die den Potenzgesetzen von Zahlen ähnelt, für das Skalarprodukt zweier Vektoren im Allgemeinen nicht gilt. Unter bestimmten Bedingungen trifft diese Beziehung jedoch zu, und du sollst herausfinden, wann das der Fall ist. | auf teilen
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m13v0782 Rechenregeln, die wir von Zahlen kennen, gelten nicht unbedingt für Vektoren. Hier sollst du zeigen, dass eine Beziehung, die den Potenzgesetzen von Zahlen ähnelt, für das Skalarprodukt zweier Vektoren im Allgemeinen nicht gilt. Unter bestimmten Bedingungen trifft diese Beziehung jedoch zu, und du sollst herausfinden, wann das der Fall ist. | auf teilen
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Skalarprodukt: Nur mit Eigenschaften der Vektoren rechnen, aber ohne die konkreten Vektoren.
m13v0643 Mit dieser Aufgabe kannst du prüfen, ob du das Wesen des Skalarproduktes verstanden hast, da hier mehrere Aspekte über das Skalarprodukt zusammengebracht werden müssen, um den Wert eines Vektorterms zu berechnen. Versuche es mal! | auf teilen
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m13v0643 Mit dieser Aufgabe kannst du prüfen, ob du das Wesen des Skalarproduktes verstanden hast, da hier mehrere Aspekte über das Skalarprodukt zusammengebracht werden müssen, um den Wert eines Vektorterms zu berechnen. Versuche es mal! | auf teilen
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Zusammenhang Skalarprodukt und Vektorbetrag
m13v0831 Bei dieser Aufgabe geht es um den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und den Längen (Beträgen) von Vektoren. Gegeben ist, dass die beiden vorkommenden Vektoren orthogonal zueinander sind. Nun sollst du die Länge verschiedener Linearkombinationen dieser Vektoren in Abhängigkeit von den Beträgen der Ausgangsvektoren bestimmen. | auf teilen
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m13v0831 Bei dieser Aufgabe geht es um den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und den Längen (Beträgen) von Vektoren. Gegeben ist, dass die beiden vorkommenden Vektoren orthogonal zueinander sind. Nun sollst du die Länge verschiedener Linearkombinationen dieser Vektoren in Abhängigkeit von den Beträgen der Ausgangsvektoren bestimmen. | auf teilen
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Anwendung des Skalarprodukts
m13v0770 In dieser Aufgabe geht es um die Anwendung der Kosinusformel des Skalarprodukts zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren. Auf dem Weg dorthin musst du jedoch an mehreren Stellen dein Wissen über das Skalarprodukt anwenden, insbesondere das Orthogonalitätskriterium und die Rechenregeln, um die erforderlichen Werte zu ermitteln. | auf teilen
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m13v0770 In dieser Aufgabe geht es um die Anwendung der Kosinusformel des Skalarprodukts zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren. Auf dem Weg dorthin musst du jedoch an mehreren Stellen dein Wissen über das Skalarprodukt anwenden, insbesondere das Orthogonalitätskriterium und die Rechenregeln, um die erforderlichen Werte zu ermitteln. | auf teilen
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Anwendung des Skalarprodukts in Koordinaten- und Kosinusform
m13v0771 Das Skalarprodukt stellt einen Bezug zwischen den Vektorlängen und dem eingeschlossenen Winkel her und beschreibt somit auch geometrische Eigenschaften der Vektoren. In dieser Aufgabe sind einige Angaben zu zwei Vektoren gegeben. Mit deinem Wissen über die Definition des Skalarprodukts sollst du begründen, warum die Vektoren nicht orthogonal sind, und die Länge eines der Vektoren bestimmen. | auf teilen
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m13v0771 Das Skalarprodukt stellt einen Bezug zwischen den Vektorlängen und dem eingeschlossenen Winkel her und beschreibt somit auch geometrische Eigenschaften der Vektoren. In dieser Aufgabe sind einige Angaben zu zwei Vektoren gegeben. Mit deinem Wissen über die Definition des Skalarprodukts sollst du begründen, warum die Vektoren nicht orthogonal sind, und die Länge eines der Vektoren bestimmen. | auf teilen
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Geometrische Figuren und Körper mit dem Skalarprodukt untersuchen und charakterisieren
Besondere Dreiecke mithilfe der Skalarprodukte der Seitenvektoren identifizieren
m13v0853 Bei dieser Aufgabe sollst du ausschließlich mit den Skalarprodukten der Seitenvektoren bestimmen, ob ein Dreieck rechtwinklig, gleichschenklig oder gleichseitig ist. Statt Längen oder Winkel direkt zu berechnen, genügt die Analyse der Skalarprodukt-Tabelle, um die Art des Dreiecks eindeutig zu erkennen - eine typische, klausurrelevante Anwendung der Vektorrechnung. | auf teilen
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m13v0853 Bei dieser Aufgabe sollst du ausschließlich mit den Skalarprodukten der Seitenvektoren bestimmen, ob ein Dreieck rechtwinklig, gleichschenklig oder gleichseitig ist. Statt Längen oder Winkel direkt zu berechnen, genügt die Analyse der Skalarprodukt-Tabelle, um die Art des Dreiecks eindeutig zu erkennen - eine typische, klausurrelevante Anwendung der Vektorrechnung. | auf teilen
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Übung: Anwendung des Skalarprodukts - rechtwinkliges Dreieck gesucht
m13v0296 Dieses Übungsvideo behandelt (1.) das Einzeichnen von Punkten ins dreidimensionale Koordinatensystem und (2.) die Anwendung des Skalarproduktes zur Konstruktion eines rechwinkligen Dreiecks. Dies ist ein Video aus der Reihe So ähnlich im Abi gesehen. | auf teilen
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m13v0296 Dieses Übungsvideo behandelt (1.) das Einzeichnen von Punkten ins dreidimensionale Koordinatensystem und (2.) die Anwendung des Skalarproduktes zur Konstruktion eines rechwinkligen Dreiecks. Dies ist ein Video aus der Reihe So ähnlich im Abi gesehen. | auf teilen
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Anwendung des Skalarprodukts: Höhe im Quader gesucht
m13v0505 Eine Anwendung des Skalarprodukts: man soll die Höhe eines Quaders bei gegebener Grundfläche so bestimmen, dass sich die Raumdiagonalen senkrecht schneiden. | auf teilen
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m13v0505 Eine Anwendung des Skalarprodukts: man soll die Höhe eines Quaders bei gegebener Grundfläche so bestimmen, dass sich die Raumdiagonalen senkrecht schneiden. | auf teilen
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Geraden im Raum mit besonderer Lage zueinander, Abstandsproblem (so ähnlich im Abi gesehen)
m13v0581 Eine Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen", bei der es um die Strategieentwicklung beim Lösungsweg geht. Mehrere Kompetenzen sind hier anzuwenden: Welche Eigenschaften haben parallele Geraden? Wie ist das Orthogonalitätskriterium anzuwenden, um das Lot auf eine Gerade durch einen Punkt zu fällen? Und wie bestimmt man den Abstand paralleler Geraden? | auf teilen
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m13v0581 Eine Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen", bei der es um die Strategieentwicklung beim Lösungsweg geht. Mehrere Kompetenzen sind hier anzuwenden: Welche Eigenschaften haben parallele Geraden? Wie ist das Orthogonalitätskriterium anzuwenden, um das Lot auf eine Gerade durch einen Punkt zu fällen? Und wie bestimmt man den Abstand paralleler Geraden? | auf teilen
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Einen von drei Vektoren aufgespannten Körper untersuchen (So ähnlich im Abi gesehen)
m13v0564 Bei dieser Aufgabe soll ein durch drei Vektoren aufgespannter Körper untersucht werden. Einen Körper, der durch drei Vektoren aufgespannt ist, bezeichnet man als Spat. Hier soll gezeigt werden, dass es sich bei diesem Spat um einen Quader handelt. Außerdem soll das Volumen des Quaders bestimmt werden. Diese Aufgabe soll ohne Hilfsmittel gelöst werden. | auf teilen
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m13v0564 Bei dieser Aufgabe soll ein durch drei Vektoren aufgespannter Körper untersucht werden. Einen Körper, der durch drei Vektoren aufgespannt ist, bezeichnet man als Spat. Hier soll gezeigt werden, dass es sich bei diesem Spat um einen Quader handelt. Außerdem soll das Volumen des Quaders bestimmt werden. Diese Aufgabe soll ohne Hilfsmittel gelöst werden. | auf teilen
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Dreiecke und Vektorrechnung: Fußpunkt der Höhe über Grundseite im Dreieck bestimmen
m13v0437 Drei Punkte eines Dreiecks ABC sind geben. Nun soll man mit Hilfe der Vektorrechnung den Fußpunkt der Höhe über der Grundseite AB berechnen. Diese Aufgabe soll mit den Mitteln gelöst werden, die man zu Anfang der Vektorrechnung lernt, also: Vektorzüge bestimmen und Skalarprodukt anwenden.
Über die Höhe und der Grundseite kann man dann z.B. den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen.
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m13v0437 Drei Punkte eines Dreiecks ABC sind geben. Nun soll man mit Hilfe der Vektorrechnung den Fußpunkt der Höhe über der Grundseite AB berechnen. Diese Aufgabe soll mit den Mitteln gelöst werden, die man zu Anfang der Vektorrechnung lernt, also: Vektorzüge bestimmen und Skalarprodukt anwenden.
Über die Höhe und der Grundseite kann man dann z.B. den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen.
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Viereck konstruieren: zuerst gleichschenkliges Dreieck, daraus dann Raute (so ähnlich im Abi gesehen)
m13v0595 Dies ist eine typische Konstruktionsaufgabe aus dem Gebiet der Vektorrechnung: Du sollst eine Raute konstruieren, indem du zunächst ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert, welches du dann über einen weiteren Punkt zur Raute ergänzt. Auch sollst du wissen, wie man prüft, ob eine Raute ein Quadrat ist. Eine Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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m13v0595 Dies ist eine typische Konstruktionsaufgabe aus dem Gebiet der Vektorrechnung: Du sollst eine Raute konstruieren, indem du zunächst ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert, welches du dann über einen weiteren Punkt zur Raute ergänzt. Auch sollst du wissen, wie man prüft, ob eine Raute ein Quadrat ist. Eine Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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Anwendung des Skalarproduktes: Drei Punkte zu Rechteck ergänzen
m13v0620 Drei Punkte sind gegeben, einer der Punkte enthält einen Parameter. Nun sollst du diese Punkte durch einen weiteren Punkt so ergänzen, dass man ein Rechteck erhält. Ahnst du schon, dass das Skalarprodukt hier ins Spiel kommt? | auf teilen
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m13v0620 Drei Punkte sind gegeben, einer der Punkte enthält einen Parameter. Nun sollst du diese Punkte durch einen weiteren Punkt so ergänzen, dass man ein Rechteck erhält. Ahnst du schon, dass das Skalarprodukt hier ins Spiel kommt? | auf teilen
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Koordinate im Dreieckpunkt so bestimmen, dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht
m13v0641 Die Punkte A, B und C eines Dreiecks sind gegeben. Die x1-Koordinate von A enthält einen Parameter k. Nun sollst du alle Werte von k bestimmen, so dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. Dies ist eine typische Aufgabe, bei der das Skalarprodukt zum Einsatz kommt. | auf teilen
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m13v0641 Die Punkte A, B und C eines Dreiecks sind gegeben. Die x1-Koordinate von A enthält einen Parameter k. Nun sollst du alle Werte von k bestimmen, so dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. Dies ist eine typische Aufgabe, bei der das Skalarprodukt zum Einsatz kommt. | auf teilen
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Dreieck untersuchen mit Vektorrechnung (so ähnlich im Abi gesehen)
m13v0609 Drei Punktes eines Dreiecks sind gegeben, wobei einer der Punkte in Abhängigkeit eines Parameters angegeben ist. Jetzt sollst du zeigen, dass alle Dreiecke im Punkt A rechtwinklig sind. Außerdem sollst du den Parameter so bestimmen, dass das Dreieck zusätzlich auch gleichschenklig ist. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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m13v0609 Drei Punktes eines Dreiecks sind gegeben, wobei einer der Punkte in Abhängigkeit eines Parameters angegeben ist. Jetzt sollst du zeigen, dass alle Dreiecke im Punkt A rechtwinklig sind. Außerdem sollst du den Parameter so bestimmen, dass das Dreieck zusätzlich auch gleichschenklig ist. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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Vektorrechnung: Dreieck und Pyramide (So ähnlich im Abi gesehen)
m13v0623 Bei dieser Aufgabe musst du einige Kompetenzen zusammenfügen: (1) Woran erkennt man, dass drei Punkte eine besondere Lage im Koordinatensystem haben? (2) Wie prüft man, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt? (3) In welchem Zusammenhang stehen Grundfläche und Volumen einer Pyramide? | auf teilen
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m13v0623 Bei dieser Aufgabe musst du einige Kompetenzen zusammenfügen: (1) Woran erkennt man, dass drei Punkte eine besondere Lage im Koordinatensystem haben? (2) Wie prüft man, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt? (3) In welchem Zusammenhang stehen Grundfläche und Volumen einer Pyramide? | auf teilen
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Beweise mit dem Skalarprodukt
Beweise mit Vektoren: eine Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks
m13v0681 Ein Video zum Aufgabentyp „Beweise mit Vektoren“: Hier soll eine besondere Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks bewiesen werden. | auf teilen
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m13v0681 Ein Video zum Aufgabentyp „Beweise mit Vektoren“: Hier soll eine besondere Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks bewiesen werden. | auf teilen
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Das Skalarprodukt ist eine bestimme Verrechnungsart zweier Vektoren, die eine Zahl als Ergebnis liefert. Das Skalarprodukt ist sehr wichtig und nützlich. Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man bestimmen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, und das Skalarprodukt kommt in einer Formel vor, mit der man den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kann.
Später, wenn es um die vektorielle Darstellung von Geraden und Ebenen geht, ist das Skalarprodukt ein wichtiges Hilfsmittel, um die besondere Lage von Geraden und Ebenen zu untersuchen.