Grundlagen der Vektorrechnung

Willkommen in der Welt der Vektorrechnung! Dieser Abschnitt führt dich in die elementaren Konzepte ein, die das Fundament für das Verständnis von Vektoren bilden. Du lernst, Vektoren als Ortsvektoren, Verbindungsvektoren und Verschiebungsvektoren zu interpretieren und wie sie genutzt werden, um Punkte im Raum zu definieren und zu verschieben. Diese grundlegenden Übungsaufgaben sind oft Teil des hilfsmittelfreien Bereichs in Klausuren.

Vektoren können eine Verschiebung darstellen, die auf einen Punkt angewendet wird, um einen neuen Punkt festzulegen. Hier lernst du, wie du den resultierenden Punkt bestimmen oder die in Vektoren vorkommenden Variablen durch das Aufstellen geeigneter Vektorgleichungen findest.

Am Anfang der Vektorrechnung lernst du, wie man Punkte als Vektoren darstellt (Ortsvektoren) und wie man durch Addieren, Subtrahieren und Vervielfachung von Vektoren Vektorzüge beschreiben kann, mit denen man Punkte in geometrischen Figuren und Körpern bestimmen kann. Die ersten Videos enthalten einfache Übungsaufgaben, die immer gerne im hilfsmittelfreien Teil der ersten Klausuren zum Thema genommen werden.

Hier behandeln wir, wie Vektoren addiert und subtrahiert werden, und visualisieren diese Operationen. Du übst das Zeichnen von Vektorketten und das Vereinfachen von Vektortermen, die durch Addition und Subtraktion miteinander verbunden sind.

In diesem Abschnitt tauchen wir in die grundlegenden Operationen mit Vektoren ein: die Addition und Subtraktion, sowohl grafisch als auch rechnerisch, sowie die Multiplikation mit einem Skalar. Das Beherrschen dieser Operationen ist essenziell für alle weiteren Anwendungen in der Vektorrechnung. Du lernst auch, Vektorterme zu vereinfachen und Vektoren als Linearkombinationen zu schreiben.

Vektoren sind nicht nur durch ihre Richtung, sondern auch durch ihre Länge, auch Betrag genannt, charakterisiert. In diesem Abschnitt lernst du, wie der Betrag eines Vektors berechnet wird und wie man Einheitsvektoren bestimmen kann, die eine Länge von Eins haben und oft als Richtungsgeber dienen.
Hier lernst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors kennen, auch im dreidimensionalen Raum. Des Weiteren wird gezeigt, wie man Vektoren erzeugt, die eine vorgegebene Länge besitzen, oder wie man einen Vektor zu einem Einheitsvektor umwandelt.

Vektoren sind leistungsstarke Werkzeuge, um Abstände zu berechnen und die Lage von Punkten in geometrischen Konfigurationen zu bestimmen. Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Anwendung von Vektoren zur Bestimmung von Abständen zwischen Punkten oder zu Koordinatenachsen/-ebenen sowie zur Lokalisierung spezieller Punkte auf Strecken oder Geraden.

Über ihre Länge hinaus können Vektoren auch bestimmte Beziehungen zueinander aufweisen, wie Kollinearität (Parallelität) oder Orthogonalität (Senkrechtstehen). Diese Eigenschaften sind, oft in Kombination mit dem Betrag, entscheidend für die eindeutige Identifizierung und Konstruktion von geometrischen Figuren wie Dreiecken, Parallelogrammen und Trapezen.
Wir untersuchen die Beziehungen zwischen Vektoren hinsichtlich ihrer Parallelität, Orthogonalität und ihres Betrags und wenden dieses Wissen an, um fehlende Punkte in besonderen Vierecken zu berechnen oder sogar die Art eines Vierecks anhand seiner Seiten- und Diagonalenvektoren zu identifizieren.