Abstände, Winkel und Spiegelungen

Neben der (besonderen) gegenseitigen Lage von Geraden und Ebenen, geht es in der Analytischen Geometrie auch um die Berechnung von Abständen und Winkel zwischen Punkten, Geraden und Ebenen. Die meisten dieser Berechnungsmethoden beruhen auf die geschickte Verknüpfung von Methoden, die du schon in früheren Kapiteln kennengelernt hast. Genauso ist dies mit Spiegelungsaufgaben, bei denen Objekte an einem Punkt, einer Gerade oder einer Ebene gespiegel werden sollen. Diese Aufgaben sind sehr beliebt (zumindest bei den Lehrern), weil der Lösungsansatz oft aus der logischen Aneinanderreihung von Methoden besteht, die du von den Grundlagen der Geraden- und Ebenenkonstruktion und den einfachen Vektorrechnung schon kennst.

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Abstand Punkt-Punkt

Der Abstand zweier Punkte kann man über die Bestimmung der Länge des Verbindungsvektors zweier Punkte ermitteln. Dies wurde hier, bei den Grundlagen der Vektorrechnung beschrieben.



Abstand Punkt - Gerade





Abstand Punkt-Gerade mit Vektorprodukt berechnen

 m13v0406  In diesem Video wird eine weitere Methode vorgestellt, mit der man den Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmen kann - diesmal mit Hilfe des Vektorprodukts (Kreuzproduktes). Anders als bei anderen Methoden, wird der Abstand direkt, d.h. ohne über den Umweg der Lotfußpunktbestimmung, berechnet. Also immer, wenn man den Lotfußpunkt nicht explizit berechnen muss, ist dies eine sehr schnelle Berechnungsmethode des Abstandes Punkt-Gerade. | auf  teilen



Abstand Punkt - Ebene



Abstand Punkt-Ebene (mittels Lotgerade)

 m13v0159  In diesem Video wird erklärt, wie man den Abstand eines Punktes von der Ebene bestimmt - in diesem Fall mit Hilfe einer Lotgeraden. | auf  teilen



Herleitung der Abstandsformel Punkt-Ebene mittels Hessescher Normalenform

 m13v0464  In diesem Video wird die Formel zur Berechnung des Abstandes Punkt-Ebene über die Hessesche Normalenform hergeleitet. | auf  teilen




Übung: Punkte mit bestimmten Abstand zu Lotfußpunkt bzw. Ebene bestimmen

 m13v0270  Dies ist ein Übungsvideo, in dem Punkte ermittelt werden sollen, die einen bestimmten Abstand zu einem Lotfußpunkt bzw. einer Ebene haben. | auf  teilen




Abstand Gerade - Gerade

Der Abstand zwischen zwei Geraden ist natürlich nur relevant, wenn sich die Geraden nicht schneiden, also bei parallelen bzw. windschiefen Geraden.



Abstand windschiefer Geraden - Methode 1: über gemeinsames Lot

 m13v0011  In diesem Video wird erklärt, wie man den Abstand windschiefer Geraden bestimmt. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden ist die Strecke, die gleichzeitig senkrecht auf beiden Geraden steht (das gemeinsame Lot). Hier wird erläutert, wie man dieses gemeinsame Lot ermittelt. Es gibt eine weitere Methode zur Bestimmung des Abstandes von winschiefen Geraden, die in einem separaten Video (folgt in Kürze) erläutert wird.  | auf  teilen



Abstand windschiefer Geraden (Methode 2: mit Hilfsebene)

 m13v0012  In diesem Video wird erklärt, wie man den Abstand windschiefer Geraden bestimmt - in diesem Fall mittels einer Hilfsebene. In einem anderen Video habe ich vorgemacht, wie man das über ein gemeinsames Lot beider Geraden machen kann  | auf  teilen

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Abstand Gerade - Ebene

Die Abstandsbestimmung zwischen Gerade und Ebene ist natürlich nur relevant, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft. Dann kann das Problem aber auf ein Abstandproblem Punkt-Ebene zurückgeführt werden, wobei man einen (beliebigen) Geradenpunkt nimmt und den Abstand zur Ebene bestimmt.



Abstand Ebene-Ebene

Das Problem der Abstandsbestimmung zwischen zwei Ebenen ist natürlich nur relevant, wenn die Ebenen parallel zueinander sind. Dann kann das Problem auf eine Abstandsbestimmung Punkt-Ebene zurückgeführt werden, wobei man einen (beliebigen) Punkt der einen Ebene nimmt und den Abstand zur anderen Ebene ermittelt.



Wissen-Check: Ebenen und Abstand (1)

 m13v0207  Zeigen, dass Ebenen parallel sind und deren Abstand bestimmen. Die Ebenen sind in Parameter bzw. Normalenform gegeben.  | auf  teilen



Parallele Ebenen mit bestimmten Abstand zum Ursprung (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0489  Ein weiteres Video aus der Serien "So ähnlich im Abi gesehen". Eine Ebene E ist gegeben, gesucht sind die zu E parallelen Ebenen, die vom Ursprung den Abstand 5 haben. Eine ähnliche Aufgabe wurde im Abi des Landes Baden-Württemberg im Jahr 2016 gestellt. | auf  teilen