Ganzrationale Funktionen

In diesem Abschnitt lernst du, was ganzrationale Funktionen sind und woran man sie erkennt. Dabei werden zentrale Begriffe wie Polynomfunktion, Koeffizient und Grad eingeführt. Anschließend übst du, gegebene Funktionsterme sicher als ganzrational oder nicht-ganzrational einzuordnen.

Das Globalverhalten beschreibt, wie sich der Graph einer ganzrationalen Funktion für sehr große positive oder negative x-Werte verhält. Bei Polynomfunktionen lässt sich dieses Verhalten direkt am Grad und am Leitkoeffizienten ablesen. In den folgenden Videos lernst du, wie du das Verhalten für x→+∞ und x→−∞ sicher bestimmst – auch dann, wenn der Funktionsterm nicht in ausmultiplizierter Form gegeben ist.

Symmetrien helfen dabei, den Graphen einer ganzrationalen Funktion schneller zu verstehen und zu skizzieren. In diesem Abschnitt lernst du zunächst die Standardsymmetrien zur y-Achse und zum Koordinatenursprung kennen. Anschließend werden allgemeinere Symmetrien zu senkrechten Spiegelachsen und zu beliebigen Punkten untersucht.

Die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion (Polynomfunktion) sind die x-Werte, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Während sich lineare und quadratische Funktionen mit bekannten Verfahren lösen lassen, gibt es für Polynomfunktionen höheren Grades keine allgemeine Lösungsformel. Stattdessen kommt es darauf an, die passende Methode zur Nullstellenberechnung auszuwählen. Je nach Aufbau der Funktion werden dabei Verfahren wie die Nullproduktregel, das Faktorisieren, die Substitution, die Polynomdivision oder die Linearfaktorzerlegung eingesetzt. In diesem Abschnitt lernst du Schritt für Schritt, wie du entscheidest, welche Methode für eine gegebene ganzrationale Funktion am besten geeignet ist und wie du ihre Nullstellen sicher berechnest.

Lässt sich eine ganzrationale Funktion durch Ausklammern oder andere Umformungen in eine Produktform überführen, können ihre Nullstellen mithilfe der Nullproduktregel besonders einfach bestimmt werden. Deshalb sollte bei jeder Nullstellenbestimmung zunächst geprüft werden, ob sich der Funktionsterm faktorisieren lässt.

Manche ganzrationalen Funktionen besitzen eine besondere Struktur, beispielsweise wenn nur gerade Potenzen von x vorkommen. Durch eine Substitution lässt sich eine solche Polynomfunktion auf eine einfachere quadratische Gleichung zurückführen, die anschließend mit den bekannten Verfahren gelöst wird.

Lässt sich eine ganzrationale Funktion nicht direkt faktorisieren, führt häufig die Polynomdivision zum Ziel. Ist bereits eine Nullstelle bekannt oder kann sie durch Probieren gefunden werden, kann der Funktionsterm schrittweise zerlegt und anschließend weiter faktorisiert werden.

Kennt man alle Nullstellen einer ganzrationalen Funktion, kann man den Funktionsterm als Produkt von Linearfaktoren schreiben. Aus dieser Darstellung lassen sich unter anderem die Vielfachheit der Nullstellen und das Verhalten des Graphen an den Nullstellen ablesen.

In vielen Aufgaben sind bereits Informationen über die Nullstellen, ihre Vielfachheiten oder einzelne Punkte des Graphen gegeben. Ziel ist es, daraus den Funktionsterm oder umgekehrt den Graphen zu bestimmen. Dabei spielen insbesondere die Linearfaktorzerlegung, die Vielfachheit der Nullstellen und ein geeigneter Stützpunkt eine zentrale Rolle.

Diese Aufgaben verknüpfen die verschiedenen Methoden zu einer vollständigen Funktionsuntersuchung – genau wie in Klassenarbeiten oder im Abitur.