Ganzrationale Funktionen

Einführung in ganzrationale Funktionen

Hier lernst du die Grundbegriffe kennen: Was sind ganzrationale Funktionen? Was bedeuten Koeffizienten und der Grad?

Was sind ganzrationale Funktionen?
m13v0395 In diesem Einstiegsvideo wird erklärt, was ganzrationale Funktionen - auch Polynomfunktionen genannt - sind. Zuerst werden an einigen Beispielen die wesentlichen Merkmale von ganzrationalen Funktionen erklärt. Dabei wird ebenfalls erläutert, was man unter Koeffizienten und dem Grad einer ganzrationalen Funktion versteht. Nach den Beispielen wirst du dann sicherlich auch die allgemeine Definition für ganzrationale Funktionen verstehen. | auf teilen

Ganzrationale Funktion - ja oder nein? (Übung)
m13v0397 Nachdem du im vorigen Video gelernt hast, was ganzrationale Funktionen sind, sollst du in diesem Übungsvideo entscheiden, ob eine gegebene Funktion eine ganzrationale Funktion ist oder nicht. Du wirst sehen, dass es knifflige Fälle gibt. Lass dich nicht hinters Licht führen... | auf teilen
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Globalverhalten und Verhalten nahe der y-Achse

Am Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion in der allgemeinen Form kann man schon durch bloßes Hingucken wichtige Eigenschaften ablesen: Zum einen ist dies das Globalverhalten - dies ist der Verhalten des Graphen in den "Außenbereichen", dort wo x gegen plus bzw. minus unendlich geht - und das Verhalten des Graphen in der Nähe der y-Achse. Die nächsten Videos zeigen, wie es geht...

Ganzrationale Funktionen: Globalverhalten (x gegen plus/minus unendlich)
m13v0102 In diesem Video erfährst du, wie man bei ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) sehr einfach den Verlauf des Graphen bei x gegen plus oder minus unendlich herausfinden kann.
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Ganzrationale Funktionen: Grad, Leitkoeffizient und Grenzverhalten (für x→± ∞) bestimmen
m13v0622 Wenn man eine ganzrationale Funktion hinsichtlich ihres Verhaltens für x→±∞ untersucht, muss man den Grad der Funktion und den Leitkoeffizienten betrachten. Dies ist eine Übung, bei der - neben den einfachen Fällen - auch ganzrationale Funktionen, die in faktorisierter Form gegeben sind, untersucht werden sollen. Eine klassische Klausuraufgabe. | auf teilen
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Ganzrationale Funktionen: Verhalten bei x nahe null
m13v0252 In diesem Video erfährst du, wie man bei ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) den Verlauf des Graphen in der Nähe der y-Achse, also für x-Werte nahe null, herausfinden kann.
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Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion durch Hingucken bestimmen (Übung)
m13v0403 In dieser Übung sollst du das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion bestimmen - und zwar nur durch Hingucken. Die Funktion ist dabei aber nicht immer in der "schönen" Summandenform angegeben, sondern als Produkt. Dennoch ist das eine einfache Aufgabe, da das Verhalten des Graphen für x gegen plus/minus unendlich ja nur vom Summanden mit der höchsten Potenz von x und dessen Koeffizienten abhängt. Dieser Summand kann aber ohne große Rechnung schnell ermittelt werden, auch wenn das Polynom in faktorisierter Form angegeben ist... | auf teilen
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Vorzeichentabelle und Gebietseinteilung für ganzrationale Funktion erstellen
m13v0825 In diesem Video erfährst du, wie du für eine ganzrationale Funktion in faktorisierter Form eine Vorzeichentabelle erstellst und den Graphenverlauf durch eine Gebietseinteilung analysierst. Dabei lernst du zwei Methoden kennen: eine auf Testwerten basierte Strategie und eine, die das Globalverhalten der Funktion berücksichtigt. | auf teilen
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Wie ändert sich das Globalverhalten? (MST-Serie)
m13v0739 Bei dieser Übung sollst du untersuchen, wie sich Transformationen des Graphen der Funktion f auf das Globalverhalten, also das Verhalten der Funktionswerte für x→±∞, auswirkt. | auf teilen
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Symmetrie von ganzrationalen Funktionen

Viele Polynome haben Symmetrien, die das Zeichnen und Analysieren erleichtern. Hier lernst du Standard-Symmetrien (Achsen- und Punktsymmetrie) und erweiterte Aufgaben dazu kennen.

Wie muss der Funktionsterm verändert werden, um Standard-Symmetrieverhalten zu erreichen?
m13v0778 Wie müssen die Funktionsterme durch passende Werte des Parameters k angepasst werden, damit der Graph der Funktion Standardsymmetrie erlangt − also entweder y-achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch zum Ursprung wird?
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Symmetrie einer ganzrationalen Funktion zu einem Punkt nachweisen (Übung)
m13v0394 In diesen Übungsaufgaben sollst du die Punktsymmetrie eines Graphen einer ganzrationalen Funktion zu einem gegebenen Punkt nachweisen. Ein Lösungsansatz dabei ist, dass man sich überlegt, wie man den Graphen verschieben müsste, damit die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung wäre. Teil 2 mit einer verwandten Aufgaben hat die Aufruf-ID: m13v0393. | auf teilen
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Symmetrie einer ganzrationalen Funktion zu einer senkrechten Gerade nachweisen (Übung)
m13v0393 In dieser Übung sollst die Achsensymmetrie eines Graphen einer ganzrationalen Funktion zu einer gegebenen senkrechten Geraden nachwiesen werden. Auch hier ist das Grundprinzip, dass man sich überlegt, wie man den Graphen verschieben müsste, damit die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse wäre. Siehe auch Teil 1 mit der Aufruf-ID: m13v0394. | auf teilen
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Nullstellenbestimmung – Methoden und Strategien

Lineare und quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 1 bzw. Grad 2. Bei diesen Funktionstypen konnten die Nullstellen noch recht einfach bestimmt werden. Ab Grad 3 kann die Nullstellenbestimmung jedoch schwieriger werden und es gibt sogar den Fall, dass die Nullstellen gar nicht mehr explizit berechnet werden können. Man kann sagen: Die Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktion vom Grad 3 oder höher ist schwierig, es sei denn man hat einfache Fälle gegeben. Die gute Nachricht ist, dass man es in der Schulmathematik in der Regel mit den einfachen Fällen zu tun hat. Die nachfolgenden Videos zeigen, welche Methoden für die einfachen Fälle zur Verfügung stehen...

Überblick

Nullstellen ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 und höher - eine Einführung
m13v0103 Dieses Video gibt eine allgemeine Übersicht über die verschiedenen Methoden der Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 und höher.
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Fälle, wo es einfach ist: Ausklammern und biquadratische Gleichungen

Nullstellenbestimmung durch Ausklammern und Faktorisieren
m13v0169 Wenn eine ganzrationale Funktion in faktorisierter Form angegeben ist oder sich durch Ausklammern der Variablen leicht faktorisieren läßt, dann ist die Nullstellenberechung sehr einfach durchzuführen. In diesem Video wird gezeigt, was die faktorisierte Form so attraktiv macht.
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Biquadratische Gleichungen: Nullstellenbestimmung durch Substitution
m13v0105 In diesem Video wird gezeigt, wie man sogenannte biquadratische Gleichungen löst bzw. die Nullstellen von biquadratischen Gleichungen bestimmt. Dies ist eine von mehreren Methoden zur Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 und höher. Die anderen Videos dieser Serie sind unten gelistet.
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Faktorisierung durch Polynomdivision

Nullstellenbestimmung durch Polynomdivision
m13v0170 In diesem Video wird gezeigt, wie man mit Hilfe der Polynomdivision eine ganzrationale Funktion faktorisiert. Dies ist eine wichtige Methode zur Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen (Polynomen) vom Grad 3 und höher. Durch die Faktorisierung zerlegt man das Ausgangspolynom in einfachere Polynom-Faktoren niedrigeren Grades, deren Nullstellen dann einfacher bestimmt werden können. | auf teilen

Nullstellenbestimmung durch Polynomdivision - weitere Beispiele
m13v0104 Dies ist ein Ergänzungsvideo zum Grundlagenvideo zur Polynomdivision. Hier werden weitere Beispiele vorgemacht und es wird erklärt, worauf man beim Durchführen einer Polynomdivision zu achten hat, wenn das Polynom nicht alle Potenzen von x in absteigender Reihe enthält.
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Nullstellen gezielt erraten
m13v0171 Damit man eine Polynomdivision durchführen kann, muss eine Nullstelle des Polynoms bekannt sein. Wenn diese nicht angegeben ist, muss man eine Nullstelle "durch Raten" finden. In diesem Video wird gezeigt, wie man *gezielt* Nullstellen-Kandidaten für ganzrationaler Funktionen finden kann.
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Vielfachheiten von Nullstellen und Spezialfälle

Mit Polynomdivision prüfen, ob ganzrationale Funktion mehrfache Nullstelle | Linearfaktorzerlegung
m13v0582 Es soll ja vorkommen, dass eine ganzrationale Funktion an einer Stelle - nennen wir sie x₀ - mehrfache Nullstellen haben kann. Die Berechnung von f(x₀) liefert natürlich null als Ergebnis, doch ist es eine einfache oder mehrfache Nullstelle? In diesem Video erfährst du, wie du dies mit Hilfe der Polynomdivision untersuchen kannst. | auf teilen
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Einfluss der Vielfachheit der Nullstellen auf Graphenverlauf einer ganzrationalen Funktion
m13v0802 In dieser Aufgabe geht es darum, wie die Vielfachheit von Nullstellen den Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion beeinflusst. Ausgehend von drei vorgegebenen Nullstellen sollst du Funktionen unterschiedlichen Grades erstellen, wobei du zusätzliche vorgegebene Eigenschaften berücksichtigen musst. | auf teilen
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Steckbrief- und Anwendungsaufgaben

Linearfaktoren einer ganzrationalen Funktion - eine Steckbriefaufgabe
m13v0660 Dies ist eine Art Steckbriefaufgabe: Von einem Polynom sind zwei Linearfaktoren bekannt und du sollst die fehlenden Koeffizienten in der Funktionsgleichung ermitteln... | auf teilen
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Linearfaktorzerlegung einer ganzrationalen Funktion
m13v0736 Bei dieser Aufgabe ist eine ganzrationale Funktion zum Teil in faktorisierter Form angegeben. Es kommt jedoch auch ein linearer Summand vor. Das Ziel ist es, die Funktionsgleichung als vollständige Linearfaktorzerlegung darzustellen und anschließend den Graphen der Funktion zu skizzieren. | auf teilen
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Gleichung einer Polynomfunktion bestimmen
m13v0653 Eine Aufgabe zur Aufstellung eines Funktionsterms einer ganzrationalen Funktion durch Auswertung des Funktionsgraphen. Welche Informationen kannst du aus der Betrachtung der Nullstellen erschließen? Wie verwendest du den angegebenen Punkt, der auf dem Graphen liegt? | auf teilen
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Polynomfunktion aus Linearfaktordarstellung ermitteln
m13v0751 Eine Art Steckbriefaufgabe: Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion, und du sollst die Koeffizienten ihres Funktionsterms vom Typ f(x)=x³+bx²+cx+d bestimmen. | auf teilen
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Funktion 3. Grades aus Linearfaktorzerlegung aufstellen
m13v0799 In diesem Video soll man die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades (f(x) = ax³ + bx² + cx + d) anhand ihres Graphen aufstellen. Der Schlüssel ist die Nutzung der Nullstellen und ihrer Vielfachheit zur Erstellung der Linearfaktorform. Dabei gilt es auch, den Streckungsfaktor zu bestimmen, indem man einen bekannten Graphenpunkt in die vorläufige Linearfaktorform einsetzt. Abschließend wird die Linearfaktorform ausmultipliziert, um die Koeffizienten a, b, c und d zu erhalten. | auf teilen
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Komplexere und klausurtypische Aufgaben

Diese Aufgaben verknüpfen die verschiedenen Methoden zu einer vollständigen Funktionsuntersuchung – genau wie in Klassenarbeiten oder im Abitur.

Ganzrationale Funktion untersuchen (klausurtypische Aufgabe)
m13v0656 Dies ist eine klausurtypische Aufgabe zur Untersuchung einer ganzrationalen Funktion, die verschiedene Grundkompetenzen abdeckt, wie z.B. (a.) Umwandeln der faktorisierten Funktion in die allgemeine Form, (b.) Untersuchung des Verhaltens für x→±∞, (c.) Untersuchung der Symmetrie des Grpahen, (d.) Nullstellenbestimmung und (e.) Anfertigen einer Skizze. | auf teilen
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Polynomdivision soll ohne Rest aufgehen, Parameter a in Funktionsterm entsprechend bestimmen
m13v0592 Bei dieser Übung, soll ein Parameter in einer Polynomfunktion so bestimmt werden, dass die Polynomdivision durch einen gegebenen Linearfaktor ohne Rest aufgeht. | auf teilen
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