Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen gehören zu den wichtigsten Funktionstypen der Oberstufenmathematik. Sie werden verwendet, um Wachstums- und Zerfallsprozesse zu beschreiben, beispielsweise bei Zinseszins, Bevölkerungsentwicklung oder radioaktivem Zerfall. Auf dieser Seite findest du Erklärungen, Aufgaben und Videolösungen zu exponentiellem Wachstum, Halbwertszeit, Verdopplungszeit, e-Funktionen, Transformationen und Exponentialgleichungen. Die Inhalte eignen sich sowohl zur Vorbereitung auf Klausuren als auch auf das Mathematik-Abitur.
Inhalt dieser Seite
- Lineare vs. exponentielle Prozesse
- Grundlagen der Exponentialfunktion
- Exponentialfunktionen aufstellen
- Wachstums- und Zerfallsprozesse
- Grundlegende Wachstums- und Zerfallsaufgaben
- Zeitfaktor und Einheiten
- Verdopplungszeit und Halbwertszeit
- Gemischte, klausurtypische Aufgaben
- Die natürliche Exponentialfunktion eˣ
- Darstellungsformen von Exponentialfunktionen
- Transformationen von Exponentialfunktionen
- Allgemeine Exponentialfunktionen
- Transformationen von e-Funktionen
- Exponentialgleichungen lösen
Lineare vs. exponentielle Prozesse
Unterschied Lineare Funktion Exponentialfunktion
m13v0420 Früher haben wir ja schon lineare Funktionen zur Beschreibung von Zunahme- bzw. Abnahmeprozessen kennengelernt. In diesem Kapitel lernst du zusätzlich exponentielle Zunahme und Abnahme kennen. In diesem Video werden die grundlegenden Unterschiede herausgearbeitet. | auf teilen
m13v0420 Früher haben wir ja schon lineare Funktionen zur Beschreibung von Zunahme- bzw. Abnahmeprozessen kennengelernt. In diesem Kapitel lernst du zusätzlich exponentielle Zunahme und Abnahme kennen. In diesem Video werden die grundlegenden Unterschiede herausgearbeitet. | auf teilen
Linearer oder exponentieller Verlauf; Textaufgabe in Funktionsgleichung
m13v0415 Aufbauend auf das vorige Video m13v0420 kannst du mit Hilfe dieser Übung überprüfen, ob du den Unterschied zwischen linearem bzw. exponentiellen Wachstum/Abnahme verstanden hast. Es werden Wachstums-/Abnahmeprozesse beschrieben, denen der Typus linear bzw. exponentiell zugeordnet werden soll. | auf teilen
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m13v0415 Aufbauend auf das vorige Video m13v0420 kannst du mit Hilfe dieser Übung überprüfen, ob du den Unterschied zwischen linearem bzw. exponentiellen Wachstum/Abnahme verstanden hast. Es werden Wachstums-/Abnahmeprozesse beschrieben, denen der Typus linear bzw. exponentiell zugeordnet werden soll. | auf teilen
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Grundlagen der Exponentialfunktion
Hier lernst du den Aufbau einer Exponentialfunktion kennen und erfährst, wie die Parameter den Verlauf des Graphen beeinflussen.
MST_Eigenschaften von Exponentialfunktionen
m13v0599 Bei diesem Video aus der Serie "Mathematisches Schnellkrafttraining" geht es darum, Aussagen über den Verlauf des Graphen einer Exponentialfunktion anhand der im Funktionsterm vorkommenden Parameter zu machen. | auf teilen
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m13v0599 Bei diesem Video aus der Serie "Mathematisches Schnellkrafttraining" geht es darum, Aussagen über den Verlauf des Graphen einer Exponentialfunktion anhand der im Funktionsterm vorkommenden Parameter zu machen. | auf teilen
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Eigenschaften von Exponentialfunktionen (Aufgabe so ähnlich im Abi gesehen)
m13v0364 In diesem Übungsvideo werden die Exponentialfunktionen des Typs f(x)=k·wx betrachtet. Hier soll man jetzt den Graphenverlauf skizzieren in Abhängigkeit der Werte von k und w. So eine ähnliche Aufgabe kam in Österreich in der Matura-Klausur vor. | auf teilen
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m13v0364 In diesem Übungsvideo werden die Exponentialfunktionen des Typs f(x)=k·wx betrachtet. Hier soll man jetzt den Graphenverlauf skizzieren in Abhängigkeit der Werte von k und w. So eine ähnliche Aufgabe kam in Österreich in der Matura-Klausur vor. | auf teilen
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Exponentialfunktionen aufstellen
Eine wichtige Kompetenz besteht darin, aus Punkten, Graphen oder anderen Angaben die passende Exponentialfunktion zu bestimmen.
Exponentialgleichung vom Typ f(x)=c·ax
m13v0172 Eine Exponentialfunktion vom Typ f(x)=c·ax ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. In diesem Video wird gezeigt, wie man aus den Koordinaten zweier Graphenpunkte die zugehörige Funktionsgleichung ermitteln kann.
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m13v0172 Eine Exponentialfunktion vom Typ f(x)=c·ax ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. In diesem Video wird gezeigt, wie man aus den Koordinaten zweier Graphenpunkte die zugehörige Funktionsgleichung ermitteln kann.
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Exponentialfunktion aus zwei Punkten aufstellen (eine schnellere Methode)
m13v0448 Nachfolgend zum Video m13v0172 soll hier eine weitere Methode zur Bestimmung einer Exponentialfunktion vom Typ f(x)=c·ax vorgestellt werden. | auf teilen
m13v0448 Nachfolgend zum Video m13v0172 soll hier eine weitere Methode zur Bestimmung einer Exponentialfunktion vom Typ f(x)=c·ax vorgestellt werden. | auf teilen
Exponentialfunktion aufstellen aus Funktionsgraph
m13v0846 Bei diesem grundlegenden Aufgabentyp soll die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufgestellt werden, für die der Graph der Funktion gegeben ist. | auf teilen
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m13v0846 Bei diesem grundlegenden Aufgabentyp soll die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufgestellt werden, für die der Graph der Funktion gegeben ist. | auf teilen
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Wachstums- und Zerfallsprozesse
Viele Anwendungen von Exponentialfunktionen stammen aus Wachstums- und Zerfallsprozessen, beispielsweise Zinseszins, Bevölkerungswachstum oder radioaktiver Zerfall.
Grundlegende Wachstums- und Zerfallsaufgaben
Zinseszins und Kapitalwachstum: Anfangskapital, Zinssatz, Anlagedauer, Endkapital berechnen
m13v0216 Typische Aufgaben zum Thema Kapitalwachstum und Zinseszins - Wie man Anfangskapital, Endkapital, Zinssatz und Anlagedauer berechnet.
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m13v0216 Typische Aufgaben zum Thema Kapitalwachstum und Zinseszins - Wie man Anfangskapital, Endkapital, Zinssatz und Anlagedauer berechnet.
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exponentielle Abnahme: Anfangswert, Verlustrate, Dauer, Endwert berechnen
m13v0217 Zweites Übungsvideo zum exponentiellen Wachstum und Zerfall - diesmal geht es um Abnahme- und Zerfallsprozesse. Bestimme die fehlenden Werte (Anfangswert, Endwert, Verlustrate, Dauer).
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m13v0217 Zweites Übungsvideo zum exponentiellen Wachstum und Zerfall - diesmal geht es um Abnahme- und Zerfallsprozesse. Bestimme die fehlenden Werte (Anfangswert, Endwert, Verlustrate, Dauer).
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Zeitfaktor und Einheiten
Exponentialfunktion aufstellen und Einheit der Variablen umwandeln für Minute, Stunde, Tage
m13v0445 In diesem Video wird gezeigt, wie man eine Exponentialgleichung so anpasst, dass man die Variable in anderen Einheiten verwenden kann.
Hat man z.B. eine Exponentialfunktion für die stündliche Abnahme eines Bestands gegeben, so kann man die Funktion abwandeln, so dass man anstatt Stunden auch Minuten oder Tage als Zeiteinheit verwenden kann. | auf teilen
m13v0445 In diesem Video wird gezeigt, wie man eine Exponentialgleichung so anpasst, dass man die Variable in anderen Einheiten verwenden kann.
Hat man z.B. eine Exponentialfunktion für die stündliche Abnahme eines Bestands gegeben, so kann man die Funktion abwandeln, so dass man anstatt Stunden auch Minuten oder Tage als Zeiteinheit verwenden kann. | auf teilen
Verdopplungszeit und Halbwertszeit
Verdopplungszeit und Halbwertszeit bei exponentiellem Wachstum bzw. Zerfall (Short)
m13v0826 In diesem Short werden die Berechnungsformeln für die Verdopplungszeit und die Halbwertszeit bei exponentiellem Wachstum bzw. Zerfall hergeleitet. | auf teilen
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m13v0826 In diesem Short werden die Berechnungsformeln für die Verdopplungszeit und die Halbwertszeit bei exponentiellem Wachstum bzw. Zerfall hergeleitet. | auf teilen
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Exponentialfunktion aus Graphen aufstellen mittels Verdopplungszeit bzw. Halbwertszeit
m13v0828 Stelle bei dieser Aufgabe den Funktionsterm einer Exponentialfunktion in der Form f(t)=f(0)·ekt auf, basierend auf dem gegebenen Graphen. Tipp: Nutze dabei die Verdopplungszeit oder die Halbwertszeit, um den Parameter k zu bestimmen. | auf teilen
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m13v0828 Stelle bei dieser Aufgabe den Funktionsterm einer Exponentialfunktion in der Form f(t)=f(0)·ekt auf, basierend auf dem gegebenen Graphen. Tipp: Nutze dabei die Verdopplungszeit oder die Halbwertszeit, um den Parameter k zu bestimmen. | auf teilen
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Gemischte, klausurtypische Aufgaben
Verschiedene Aufgabentypen Exponentialfunktionen - klausurtypische Aufgaben
m13v0710 Dies ist eine klausurtypische Aufgabe, bei denen verschiedene Kompetenzen zu Exponentialfunktionen abgefragt werden: Berechnung der Halbwertszeit; Berechnung des Zerfallsfaktors und Bestimmung des Bestands zu einem bestimmten Zeitpunkt. | auf teilen
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m13v0710 Dies ist eine klausurtypische Aufgabe, bei denen verschiedene Kompetenzen zu Exponentialfunktionen abgefragt werden: Berechnung der Halbwertszeit; Berechnung des Zerfallsfaktors und Bestimmung des Bestands zu einem bestimmten Zeitpunkt. | auf teilen
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Die natürliche Exponentialfunktion eˣ
Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e spielt eine zentrale Rolle in der Analysis. Ihre besonderen Eigenschaften machen sie zu einem wichtigen Werkzeug für viele Anwendungen.
Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung. Herleitung der Eulerschen Zahl e.
m13v0447 In diesem Video wird eine besondere Exponentialfunktion behandelt - die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e. e ist die Eulersche Zahl, näherungsweise 2,718.
Hier wird gezeigt, dass es eine Exponentialfunktion gibt, deren Ableitungsfunktion mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt: f(x)=e^x.
Außerdem wird gezeigt, wie man einen Näherungswert für die Eulersche Zahl e ermitteln kann. Zur Herleitung von e benutzt man die Differentialquotienten-Definition der Ableitung. | auf teilen
m13v0447 In diesem Video wird eine besondere Exponentialfunktion behandelt - die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e. e ist die Eulersche Zahl, näherungsweise 2,718.
Hier wird gezeigt, dass es eine Exponentialfunktion gibt, deren Ableitungsfunktion mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt: f(x)=e^x.
Außerdem wird gezeigt, wie man einen Näherungswert für die Eulersche Zahl e ermitteln kann. Zur Herleitung von e benutzt man die Differentialquotienten-Definition der Ableitung. | auf teilen
Handelt es sich um exponentielle Zunahme oder Abnahme?
m13v0667 Bei dieser Aufgabe sollst du am Funktionsterm erkennen, ob der Graph der Funktion eine exponentielle Zunahme oder Abnahme darstellt. Bei einigen Funktionstermen kommt in der Basis auch die Eulersche Zahl e vor. | auf teilen
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m13v0667 Bei dieser Aufgabe sollst du am Funktionsterm erkennen, ob der Graph der Funktion eine exponentielle Zunahme oder Abnahme darstellt. Bei einigen Funktionstermen kommt in der Basis auch die Eulersche Zahl e vor. | auf teilen
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Steckbriefaufgabe für Exponentialfunktion - Punkt und Steigung gegeben
m13v0829 In dieser Steckbriefaufgabe sollst du die Parameter einer Exponentialfunktion der Form f(x)=a·ekx bestimmen, sodass ihr Graph durch einen gegebenen Punkt verläuft und dort eine bestimmte Steigung besitzt. | auf teilen
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m13v0829 In dieser Steckbriefaufgabe sollst du die Parameter einer Exponentialfunktion der Form f(x)=a·ekx bestimmen, sodass ihr Graph durch einen gegebenen Punkt verläuft und dort eine bestimmte Steigung besitzt. | auf teilen
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Grenzverhalten von e-Funktionen
m13v0452 Den Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=ex sollte man kennen − äh, den muss man kennen!. Aber wie wird der Verlauf des Graphen durch den Exponenten beeinflusst, also wenn man es mit einer Funktion f(x)=eg(x) zu tun hat, wobei g(x) eine mehr oder weniger komplizierte Funktion sein kann − zum Beispiel eine ganzrationale Funktion?! In diesem Video wird es erklärt. Soviel sei verraten: Was immer auch passiert, es passiert oberhalb der x-Achse... | auf teilen
m13v0452 Den Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=ex sollte man kennen − äh, den muss man kennen!. Aber wie wird der Verlauf des Graphen durch den Exponenten beeinflusst, also wenn man es mit einer Funktion f(x)=eg(x) zu tun hat, wobei g(x) eine mehr oder weniger komplizierte Funktion sein kann − zum Beispiel eine ganzrationale Funktion?! In diesem Video wird es erklärt. Soviel sei verraten: Was immer auch passiert, es passiert oberhalb der x-Achse... | auf teilen
Rechnen mit e-Funktionen
m13v0759 In dieser Aufgabe werden zentrale Rechenoperationen zu e-Funktionen zusammengefasst: Vereinfachen mit Potenzgesetzen, Ausklammern, Ausmultiplizieren sowie Ableitungsmethoden, inklusive Kettenregel und Produktregel. Überprüfe, ob du diese grundlegenden Aufgabentypen sicher beherrschst ? im Abi solltest du sie mühelos lösen können. | auf teilen
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m13v0759 In dieser Aufgabe werden zentrale Rechenoperationen zu e-Funktionen zusammengefasst: Vereinfachen mit Potenzgesetzen, Ausklammern, Ausmultiplizieren sowie Ableitungsmethoden, inklusive Kettenregel und Produktregel. Überprüfe, ob du diese grundlegenden Aufgabentypen sicher beherrschst ? im Abi solltest du sie mühelos lösen können. | auf teilen
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Darstellungsformen von Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen können mit beliebiger Basis oder mit der Basis e dargestellt werden. Das sichere Umformen zwischen diesen Darstellungen gehört zum Standardrepertoire der Oberstufe.
Exponentialfunktion in ein Format mit der Basis e umwandeln
m13v0693 Bei dieser Übung sollst du eine Exponentialfunktion, die in der Form f(t)=a·bt gegeben ist, in das e-Funktion-Format f(t)=a·ekt umwandeln. | auf teilen
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m13v0693 Bei dieser Übung sollst du eine Exponentialfunktion, die in der Form f(t)=a·bt gegeben ist, in das e-Funktion-Format f(t)=a·ekt umwandeln. | auf teilen
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Exponentialfunktionen - Darstellungsformen ineinander umwandeln
m13v0836 Bei dieser Aufgabe geht es um die Umwandlung von Exponentialfunktionen zwischen der beiden grundlegenden Darstellungsformen f(t)=f(0)·at bzw. f(t)=f(0)·ekt. | auf teilen
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m13v0836 Bei dieser Aufgabe geht es um die Umwandlung von Exponentialfunktionen zwischen der beiden grundlegenden Darstellungsformen f(t)=f(0)·at bzw. f(t)=f(0)·ekt. | auf teilen
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Transformationen von Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen können verschoben, gestreckt, gestaucht oder gespiegelt werden. Hier lernst du, solche Transformationen zu erkennen und zu beschreiben.
Allgemeine Exponentialfunktionen
Transformation von Exponentialfunktionen
m13v0425 In diesem Übungsvideo geht es um die Transformation von Graphen von Exponentialfunktionen. In der einen Aufgabe sollst du zeigen, dass es zwei unterschiedliche Wege der Transformation (Verschieben bzw. Stauchen/Strecken) gibt, die zum selben Ergebnis führen. In der zweiten Aufgabe sollst du die einzelnen Schritte der Transformationen angeben, mit der man von einer Exponentialfunktion zu einer anderen Exponentialfunktion gelangt. | auf teilen
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m13v0425 In diesem Übungsvideo geht es um die Transformation von Graphen von Exponentialfunktionen. In der einen Aufgabe sollst du zeigen, dass es zwei unterschiedliche Wege der Transformation (Verschieben bzw. Stauchen/Strecken) gibt, die zum selben Ergebnis führen. In der zweiten Aufgabe sollst du die einzelnen Schritte der Transformationen angeben, mit der man von einer Exponentialfunktion zu einer anderen Exponentialfunktion gelangt. | auf teilen
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Exponentialfunktionen zuordnen und zeichnen
m13v0706 Eine klausurtypische Aufgabe, bei der du Funktionsgraphen den richtigen Funktionstermen zuordnen sollst. Außerdem sollst du den Graphen einer Gleichung ins Koordinatensystem einzeichnen. | auf teilen
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m13v0706 Eine klausurtypische Aufgabe, bei der du Funktionsgraphen den richtigen Funktionstermen zuordnen sollst. Außerdem sollst du den Graphen einer Gleichung ins Koordinatensystem einzeichnen. | auf teilen
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Exponentialfunktionen: Vom Graphen zur Funktionsgleichung (die beste Methode)
m13v0707 Bei dieser Übungsaufgabe sind Graphen von Exponentialfunktionen gegeben, und du sollst dazu die entsprechenden Funktionsgleichungen im Format y=c·ax+d angeben. Diese Aufgabe ist nicht ganz einfach, aber im Video wird eine zuverlässige Methode erklärt, mit der das Aufstellen der Funktionsgleichung schnell gelingt. | auf teilen
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m13v0707 Bei dieser Übungsaufgabe sind Graphen von Exponentialfunktionen gegeben, und du sollst dazu die entsprechenden Funktionsgleichungen im Format y=c·ax+d angeben. Diese Aufgabe ist nicht ganz einfach, aber im Video wird eine zuverlässige Methode erklärt, mit der das Aufstellen der Funktionsgleichung schnell gelingt. | auf teilen
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Exponentialfunktionen aufstellen und Graph zeichnen mittels Angaben
m13v0708 Bei diesen Aufgaben sollst du die Funktionsterme für Exponentialfunktionen des Typs f(x)=c∙ax aufstellen; verfügbar sind Angaben zur Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit, Anfangsbestand und bekannter Graphenpunkte. | auf teilen
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m13v0708 Bei diesen Aufgaben sollst du die Funktionsterme für Exponentialfunktionen des Typs f(x)=c∙ax aufstellen; verfügbar sind Angaben zur Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit, Anfangsbestand und bekannter Graphenpunkte. | auf teilen
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Transformationen von e-Funktionen
Transformierte e-Funktionen den richtigen Graphen zuordnen | MST-Serie
m13v0686 Wie gut kennst du dich mit Transformationsoperationen von Funktionen aus? Bei dieser Übungsaufgabe sollst du passende Paare von Funktionsterm und Funktionsgraph einander zuordnen. | auf teilen
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m13v0686 Wie gut kennst du dich mit Transformationsoperationen von Funktionen aus? Bei dieser Übungsaufgabe sollst du passende Paare von Funktionsterm und Funktionsgraph einander zuordnen. | auf teilen
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Transformation einer e-Funktion: Funktionsgleichungen für Zwischenschritte finden (Übung)
m13v0621 Eine Übung zur schrittweisen Transformation einer Ausgangsfunktion zu einer Zielfunktion. Die Schritte sind beschrieben, und du sollst die Gleichungen der Zwischenschritt-Gleichungen angeben. Für den letzten Schritt, sollst du die auch die Transformation beschreiben. | auf teilen
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m13v0621 Eine Übung zur schrittweisen Transformation einer Ausgangsfunktion zu einer Zielfunktion. Die Schritte sind beschrieben, und du sollst die Gleichungen der Zwischenschritt-Gleichungen angeben. Für den letzten Schritt, sollst du die auch die Transformation beschreiben. | auf teilen
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Transformation der e-Funktion: Benenne geeignete Transformationsschritte
m13v0659 Bei dieser Übungsaufgabe sollst du eine geeignete Reihenfolge von Transformationsschritten aufstellen, mit denen sich die Ausgangsfunktion f(x)=ex in die angegebene Zielfunktion überführen lässt. | auf teilen
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m13v0659 Bei dieser Übungsaufgabe sollst du eine geeignete Reihenfolge von Transformationsschritten aufstellen, mit denen sich die Ausgangsfunktion f(x)=ex in die angegebene Zielfunktion überführen lässt. | auf teilen
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Transformation der e-Funktion: Vergleich zweier Transformationssequenzen
m13v0672 In dieser Übungsaufgabe soll der Frage nachgegangen werden, ob man die Reihenfolge der Transformationen verändern kann und dennoch zur selben Zielfunktion gelangt... | auf teilen
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m13v0672 In dieser Übungsaufgabe soll der Frage nachgegangen werden, ob man die Reihenfolge der Transformationen verändern kann und dennoch zur selben Zielfunktion gelangt... | auf teilen
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Exponentialgleichungen lösen
Bei Exponentialgleichungen befindet sich die gesuchte Variable im Exponenten. Je nach Aufgabe können Potenzgesetze, Exponentenvergleich oder Logarithmen zum Einsatz kommen.
Exponentialgleichungen lösen - Dein Kompetenz-Check
m13v0837 In diesem Video löst du neun Exponentialgleichungen ? und zwar ohne Taschenrechner. Der Schlüssel zur Lösung liegt oft darin, die Gleichung so umzuformen, dass Potenzen mit derselben Basis auftreten, sodass du am Ende einen Exponentenvergleich durchführen kannst. Wenn eine weitere Vereinfachung nicht möglich ist, sollst du die Aufgabe durch Logarithmieren lösen. | auf teilen
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m13v0837 In diesem Video löst du neun Exponentialgleichungen ? und zwar ohne Taschenrechner. Der Schlüssel zur Lösung liegt oft darin, die Gleichung so umzuformen, dass Potenzen mit derselben Basis auftreten, sodass du am Ende einen Exponentenvergleich durchführen kannst. Wenn eine weitere Vereinfachung nicht möglich ist, sollst du die Aufgabe durch Logarithmieren lösen. | auf teilen
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Exponentialfunktionen werden verwendet, um Wachstums- und Zerfallsprozesse zu beschreiben. Bevor du mit Funktionstermen arbeitest, solltest du den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Verlauf sicher verstehen.