Ebenen II (auch mit Normalenform und Koordinatenform)
Dieses Kapitel baut auf der Parameterform der Ebene auf und behandelt weitere wichtige Darstellungsformen von Ebenen in der analytischen Geometrie. Im Mittelpunkt stehen die Normalenform und die Koordinatenform der Ebenengleichung sowie die Umwandlung zwischen Parameterform, Normalenform und Koordinatenform.
Du findest hier Lernvideos, Aufgaben mit Lösungen und PDF-Arbeitsblätter zu Punktproben, Normalenvektoren, Koordinatengleichungen, Spurpunkten, Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden sowie typischen Klausur- und Abituraufgaben. Außerdem werden Ebenenscharen, Schnittgeraden und besondere Darstellungsformen wie die Achsenabschnittsform behandelt.
Wenn du zunächst die Parameterform der Ebene wiederholen möchtest, findest du die Grundlagen im Kapitel „Ebenen I“.
Du findest hier Lernvideos, Aufgaben mit Lösungen und PDF-Arbeitsblätter zu Punktproben, Normalenvektoren, Koordinatengleichungen, Spurpunkten, Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden sowie typischen Klausur- und Abituraufgaben. Außerdem werden Ebenenscharen, Schnittgeraden und besondere Darstellungsformen wie die Achsenabschnittsform behandelt.
Wenn du zunächst die Parameterform der Ebene wiederholen möchtest, findest du die Grundlagen im Kapitel „Ebenen I“.
Inhalt dieser Seite
Die Normalenform der Ebenengleichung
Die Normalenform der Ebenengleichung
m13v0463 Die Parameterform der Ebenengleichung kennst du ja schon. Hier lernst du eine weitere Form der Ebenengleichung kennen - die sogenannte Normalengleichung. Diese Gleichung beinhaltet zwei Informationen: einen Punkt der Ebene und einen Normalenvektor (dies ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht). Wie man diese Zutaten zusammenbringt, und welche Rolle auch noch das Skalarprodukt dabei spielt, das erfährst du in diesem Video. | auf teilen
m13v0463 Die Parameterform der Ebenengleichung kennst du ja schon. Hier lernst du eine weitere Form der Ebenengleichung kennen - die sogenannte Normalengleichung. Diese Gleichung beinhaltet zwei Informationen: einen Punkt der Ebene und einen Normalenvektor (dies ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht). Wie man diese Zutaten zusammenbringt, und welche Rolle auch noch das Skalarprodukt dabei spielt, das erfährst du in diesem Video. | auf teilen
Punktprobe durchführen, wenn Ebene in Normalenform gegeben ist
m13v0462 In diesem Video wird gezeigt, wie man überprüft, ob ein Punkt auf der Ebene liegt (Punktprobe), wenn die Gleichung der Ebene in Normalenform angegeben ist. | auf teilen
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m13v0462 In diesem Video wird gezeigt, wie man überprüft, ob ein Punkt auf der Ebene liegt (Punktprobe), wenn die Gleichung der Ebene in Normalenform angegeben ist. | auf teilen
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Lage von Punkten im Raum in Bezug zu einer Ebene
m13v0703 Eine Ebene teilt den dreidimensionalen Raum in zwei Halbräume. In diesem Lektionsvideo lernst du, wie man untersuchen kann, in welchem Halbraum ein außerhalb der Ebene liegender Punkt sich befindet. Als Bezug für die Richtung der Halbräume wird dabei der Normalenvektor der Ebene verwendet, so wie man ihn aus der Ebenengleichung ablesen kann. | auf teilen
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m13v0703 Eine Ebene teilt den dreidimensionalen Raum in zwei Halbräume. In diesem Lektionsvideo lernst du, wie man untersuchen kann, in welchem Halbraum ein außerhalb der Ebene liegender Punkt sich befindet. Als Bezug für die Richtung der Halbräume wird dabei der Normalenvektor der Ebene verwendet, so wie man ihn aus der Ebenengleichung ablesen kann. | auf teilen
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Lage eines Punktes zur Ebene in Relation zum Koordinatenursprung
m13v0704 Eine Ebene teilt den dreidimensionalen Raum in zwei Halbräume. Sofern die Ebene selbst nicht durch den Ursprung geht, enthält einer der beiden Halbräume den Koordinatenursprung. In diesem Video wird geprüft, ob ein Punkt des Raumes entweder im Halbraum mit oder ohne Ursprung liegt, oder sogar in der Ebene liegt. | auf teilen
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m13v0704 Eine Ebene teilt den dreidimensionalen Raum in zwei Halbräume. Sofern die Ebene selbst nicht durch den Ursprung geht, enthält einer der beiden Halbräume den Koordinatenursprung. In diesem Video wird geprüft, ob ein Punkt des Raumes entweder im Halbraum mit oder ohne Ursprung liegt, oder sogar in der Ebene liegt. | auf teilen
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Die Koordinatenform der Ebenengleichung
Liegt der Punkt auf der Ebene? | Punktprobe bei Koordinatenform
m13v0063 In diesem Video wird gezeigt, wie man überprüft ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt, die in Koordinatenform angegeben ist. | auf teilen
m13v0063 In diesem Video wird gezeigt, wie man überprüft ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt, die in Koordinatenform angegeben ist. | auf teilen
Ebenengleichung und Punktkoordinaten so ergänzen, dass Punkte in der Ebene liegen (Übung)
m13v0389 Gegeben sind eine unvollständige Ebenengleichung in Koordinatenform und drei Ebenenpunkte, von denen auch nicht alle Koordinaten bekannt sind. Die Ebenengleichung und die Punktkoordinaten sind so zu ergänzen, dass die Punkte auf der Ebene liegen. | auf teilen
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m13v0389 Gegeben sind eine unvollständige Ebenengleichung in Koordinatenform und drei Ebenenpunkte, von denen auch nicht alle Koordinaten bekannt sind. Die Ebenengleichung und die Punktkoordinaten sind so zu ergänzen, dass die Punkte auf der Ebene liegen. | auf teilen
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Ebene ins Koordinatensystem einzeichnen und Dreiecksfläche bestimmen (So ähnlich im Abi gesehen)
m13v0558 Bei dieser Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" soll ein Ausschnitt einer Ebene (die in Koordinatenform gegeben ist) ins dreidimensionale Koordinatensystem gezeichnet werden. Außerdem soll der Flächeninhalt des Dreiecks bestimmt werden, welches durch die Ebene auf einer Koordinatenebene mit den Koordinatenachsen abgegrenzt wird. | auf teilen
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m13v0558 Bei dieser Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" soll ein Ausschnitt einer Ebene (die in Koordinatenform gegeben ist) ins dreidimensionale Koordinatensystem gezeichnet werden. Außerdem soll der Flächeninhalt des Dreiecks bestimmt werden, welches durch die Ebene auf einer Koordinatenebene mit den Koordinatenachsen abgegrenzt wird. | auf teilen
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Punkte/Punktmenge einer Ebene bestimme, die besondere Koordinaten haben (so ähnlich im Abi gesehen)
m13v0512 Bei dieser Aufgabe ist die Koordinatenform einer Ebene gegeben. Nun sucht man den Punkt bzw. die Punktmenge, bei denen alle bzw. zwei Koordinaten übereinstimmen. Eine Aufgabe aus der Reihe "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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m13v0512 Bei dieser Aufgabe ist die Koordinatenform einer Ebene gegeben. Nun sucht man den Punkt bzw. die Punktmenge, bei denen alle bzw. zwei Koordinaten übereinstimmen. Eine Aufgabe aus der Reihe "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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Vektor gesucht - gleichzeitig Normalenvektor einer Ebene und Ortsvektor zu Ebenenpunkt
m13v0297 Bei dieser Aufgabe geht es darum, einen geforderten Zusammenhang zwischen Normalenvektor einer Ebene und Ortsvektoren von Ebenenpunkten als Gleichung zu formulieren und diese dann zu lösen.
(So ähnlich im Abi gesehen: Bayern 2017, hilfsmittelfreier Teil) | auf teilen
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m13v0297 Bei dieser Aufgabe geht es darum, einen geforderten Zusammenhang zwischen Normalenvektor einer Ebene und Ortsvektoren von Ebenenpunkten als Gleichung zu formulieren und diese dann zu lösen.
(So ähnlich im Abi gesehen: Bayern 2017, hilfsmittelfreier Teil) | auf teilen
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Besondere Darstellungsformen und Konstruktionen von Ebenen
Die Achsenabschnittsform der Ebenengleichung
m13v0562 Die Achsenabschnittsform ist eine Darstellungsform einer Ebenengleichung, in der die Schnittstellen der Ebene mit den Koordinatenachsen vorkommen. In diesem Video erfährst du, wie hilfreich diese Form ist, wenn man ein Ebenenbildchen gegeben hat und man eine Gleichung der Ebene aufstellen soll. Auch die Herleitung der Achsenabschnittsform wird besprochen. | auf teilen
m13v0562 Die Achsenabschnittsform ist eine Darstellungsform einer Ebenengleichung, in der die Schnittstellen der Ebene mit den Koordinatenachsen vorkommen. In diesem Video erfährst du, wie hilfreich diese Form ist, wenn man ein Ebenenbildchen gegeben hat und man eine Gleichung der Ebene aufstellen soll. Auch die Herleitung der Achsenabschnittsform wird besprochen. | auf teilen
Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen aus Schrägbilddarstellung
m13v0855 In dieser Aufgabe sollst du aus einer Schrägbild-Darstellung die Koordinatengleichung einer Ebene bestimmen. Besonders hilfreich ist dabei die Achsenabschnittsform, mit der sich Ebenen direkt aus ihren Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen aufstellen lassen. Zudem lernst du, wie man mit Ebenen in besonderer Lage umgeht, die parallel zu Achsen verlaufen oder einzelne Achsen nicht schneiden. | auf teilen
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m13v0855 In dieser Aufgabe sollst du aus einer Schrägbild-Darstellung die Koordinatengleichung einer Ebene bestimmen. Besonders hilfreich ist dabei die Achsenabschnittsform, mit der sich Ebenen direkt aus ihren Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen aufstellen lassen. Zudem lernst du, wie man mit Ebenen in besonderer Lage umgeht, die parallel zu Achsen verlaufen oder einzelne Achsen nicht schneiden. | auf teilen
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Ebenengleichung anhand der Spurpunkte aufstellen
m13v0561 Wenn man die Spurpunkte einer Ebene (also die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) kennt, dann ist es ein Leichtes, daraus eine Koordinatengleichung der Ebene zu entwickeln, wenn man die Achsenabschnittsform kennt. Umgekehrt ist es auch nicht schwer, aus der Koordinatenform der Ebene, die Achsenabschnittsform aufzustellen, aus der man dann die Spurpunkte ganz leicht ablesen kann. In diesem Übungsvideo wird beides vorgemacht. | auf teilen
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m13v0561 Wenn man die Spurpunkte einer Ebene (also die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) kennt, dann ist es ein Leichtes, daraus eine Koordinatengleichung der Ebene zu entwickeln, wenn man die Achsenabschnittsform kennt. Umgekehrt ist es auch nicht schwer, aus der Koordinatenform der Ebene, die Achsenabschnittsform aufzustellen, aus der man dann die Spurpunkte ganz leicht ablesen kann. In diesem Übungsvideo wird beides vorgemacht. | auf teilen
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Was sind Spurpunkte und Spurgeraden? - Übersicht
m13v0280 Dieses Video fasst noch einmal zusammen, was Spurpunkte und Spurgeraden sind. Spurpunkte gibt es bei Geraden und Ebenen, Spurgeraden gibt es bei Ebenen. | auf teilen
m13v0280 Dieses Video fasst noch einmal zusammen, was Spurpunkte und Spurgeraden sind. Spurpunkte gibt es bei Geraden und Ebenen, Spurgeraden gibt es bei Ebenen. | auf teilen
Spurpunkte einer Ebene bestimmen (Ebene in Koordinatenform)
m13v0167 In diesem Video wird vorgemacht, wie man die Spurpunkte einer Ebene bestimmt, wenn die Ebene in Koordinatenform angegeben ist. | auf teilen
m13v0167 In diesem Video wird vorgemacht, wie man die Spurpunkte einer Ebene bestimmt, wenn die Ebene in Koordinatenform angegeben ist. | auf teilen
Spurgeraden berechnen - Ebene in Koordinatenform gegeben
m13v0408 Die Spurgeraden einer Ebene sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen des Koordiantensystems. In diesem Video wird gezeigt, wie man die Spurgeraden bestimmt, wenn die Ebene in Koordinatenform gegeben ist. | auf teilen
m13v0408 Die Spurgeraden einer Ebene sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen des Koordiantensystems. In diesem Video wird gezeigt, wie man die Spurgeraden bestimmt, wenn die Ebene in Koordinatenform gegeben ist. | auf teilen
Gleichung einer Ebene aufstellen und in ein Koordinatensystem zeichnen
m13v0214 Bei dieser Übungsaufgabe soll man eine Ebenengleichung aufstellen; man kennt einen Punkt der Ebene, von dem senkrecht eine Strecke zu einem Punkt außerhalb der Ebene zeigt. Die berechnete Ebene soll dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden. | auf teilen
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m13v0214 Bei dieser Übungsaufgabe soll man eine Ebenengleichung aufstellen; man kennt einen Punkt der Ebene, von dem senkrecht eine Strecke zu einem Punkt außerhalb der Ebene zeigt. Die berechnete Ebene soll dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden. | auf teilen
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Ebene durch Punkt, parallel zu einer zweiten Ebene
m13v0088 In diesem Video geht es um die Konstruktion einer Ebene, die parallel zu einer gegebenen Ebene liegt und durch einen ebenfalls vorgegebenen Punkt (außerhalb der ersten Ebene geht). In diesem Video werden alle Fälle behandelt, d.h. die vorgegebene Ebene kann in Parameterform, in Normalenform und in Koordinatenform vorliegen... | auf teilen
m13v0088 In diesem Video geht es um die Konstruktion einer Ebene, die parallel zu einer gegebenen Ebene liegt und durch einen ebenfalls vorgegebenen Punkt (außerhalb der ersten Ebene geht). In diesem Video werden alle Fälle behandelt, d.h. die vorgegebene Ebene kann in Parameterform, in Normalenform und in Koordinatenform vorliegen... | auf teilen
(Spiegel-)Ebene zwischen zwei Punkten konstruieren
m13v0089 In diesem Video geht es um die Konstruktion einer Ebene, die spiegelsymmetrisch zu zwei gegebenen Punkten liegt. Die Ebene wird in Normalen- bzw. Koordinatenform berechnet, da dies hier der bequemste Weg ist.
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m13v0089 In diesem Video geht es um die Konstruktion einer Ebene, die spiegelsymmetrisch zu zwei gegebenen Punkten liegt. Die Ebene wird in Normalen- bzw. Koordinatenform berechnet, da dies hier der bequemste Weg ist.
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Spiegelebene zwischen zwei Punkten bestimmen (alternative Methode)
m13v0824 In diesem Video wird eine Methode zur Bestimmung der Spiegelebene zwischen zwei Punkten vorgestellt, die - im Gegensatz zur Methode im Video m13v0089 - ohne die Berechnung des Mittelpunktes und der Lotrichtung auskommt. | auf teilen
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m13v0824 In diesem Video wird eine Methode zur Bestimmung der Spiegelebene zwischen zwei Punkten vorgestellt, die - im Gegensatz zur Methode im Video m13v0089 - ohne die Berechnung des Mittelpunktes und der Lotrichtung auskommt. | auf teilen
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Ursprung an Ebene Spiegeln (So ähnlich im Abi gesehen)
m13v0576 Die Gleichung der Ebene E ist in Koordinatenform gegeben. Der Koordinatenursprung O soll an der Ebene E gespiegelt werden, wodurch der Spiegelpunkt O?? entsteht. Außerdem soll die zu Ebene E parallele Ebene F bestimmt werden, die den Punkt O?? enthält. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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m13v0576 Die Gleichung der Ebene E ist in Koordinatenform gegeben. Der Koordinatenursprung O soll an der Ebene E gespiegelt werden, wodurch der Spiegelpunkt O?? entsteht. Außerdem soll die zu Ebene E parallele Ebene F bestimmt werden, die den Punkt O?? enthält. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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Punkte auf den Koordinatenachsen, die den gleichen Abstand zu zwei Punkten haben sollen
m13v0832 In dieser Aufgabe sollst du Punkte auf den Koordinatenachsen finden, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind. Dabei nutzt du zwei verschiedene Lösungswege: die Abstandsformel und eine Hilfsebene, die zwischen den Punkten liegt. Die Aufgabe fordert strategisches Denken und verbindet wichtige Konzepte aus der Vektorrechnung und analytischen Geometrie. | auf teilen
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m13v0832 In dieser Aufgabe sollst du Punkte auf den Koordinatenachsen finden, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind. Dabei nutzt du zwei verschiedene Lösungswege: die Abstandsformel und eine Hilfsebene, die zwischen den Punkten liegt. Die Aufgabe fordert strategisches Denken und verbindet wichtige Konzepte aus der Vektorrechnung und analytischen Geometrie. | auf teilen
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Aus 3 Punkten direkt zur Koordinatengleichung der Ebene mit GTR (TI-nspire)
m13v0286 Wie man aus drei gegebenen Punkten (die natürlich nicht auf einer Geraden liegen dürfen) durch das Aufstellen eines LGS direkt zur Koordinatenform der Ebene kommt wird in diesem Video vorgemacht. Dies ist eine schnelle Methode, wenn man den GTR hierfür einsetzen darf. | auf teilen
m13v0286 Wie man aus drei gegebenen Punkten (die natürlich nicht auf einer Geraden liegen dürfen) durch das Aufstellen eines LGS direkt zur Koordinatenform der Ebene kommt wird in diesem Video vorgemacht. Dies ist eine schnelle Methode, wenn man den GTR hierfür einsetzen darf. | auf teilen
Ebene, die durch Geradenschar aufgespannt wird - Koordinatengleichung aufstellen
m13v0698 Gegeben ist eine Geradenschar, wobei alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen. Hier sollst du eine Koordinatengleichung der dieser Ebene bestimmen. | auf teilen
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m13v0698 Gegeben ist eine Geradenschar, wobei alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen. Hier sollst du eine Koordinatengleichung der dieser Ebene bestimmen. | auf teilen
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Umwandlung zwischen den Ebenengleichungsformen
Parameterform in Normalenform (Einführung)
m13v0001 In diesem Video lernst du, wie man die Parameterform einer Ebene in die Normalenform überführt. Entscheidend ist, wie ein Normalenvektor aus den beiden Spannvektoren der Ebene bestimmt werden kann. Du lernst zwei verschiedene Methoden kennen, um dies zu tun, die detailliert in weiteren Teilen dieser Videoreihe behandelt werden. | auf teilen
m13v0001 In diesem Video lernst du, wie man die Parameterform einer Ebene in die Normalenform überführt. Entscheidend ist, wie ein Normalenvektor aus den beiden Spannvektoren der Ebene bestimmt werden kann. Du lernst zwei verschiedene Methoden kennen, um dies zu tun, die detailliert in weiteren Teilen dieser Videoreihe behandelt werden. | auf teilen
Parameterform in Normalenform (Methode 1: mittels LGS)
m13v0002 In diesem Video lernst du, wie man für Umwandlung der Parameterform einer Ebene in die Normalenform, einen Normalenvektor aus den beiden Spannvektoren ermittelt. Da der Normalenvektor senkrecht auf beiden Spannvektoren steht, muss ihr Skalarprodukt Null ergeben. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit drei Unbekannten. Du lernst, wie man eine Koordinate des Normalenvektors frei wählt, die anderen berechnet und die Normalenform vervollständigt. Auch das Skalieren des Normalenvektors wird erklärt. | auf teilen
m13v0002 In diesem Video lernst du, wie man für Umwandlung der Parameterform einer Ebene in die Normalenform, einen Normalenvektor aus den beiden Spannvektoren ermittelt. Da der Normalenvektor senkrecht auf beiden Spannvektoren steht, muss ihr Skalarprodukt Null ergeben. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit drei Unbekannten. Du lernst, wie man eine Koordinate des Normalenvektors frei wählt, die anderen berechnet und die Normalenform vervollständigt. Auch das Skalieren des Normalenvektors wird erklärt. | auf teilen
Parameterform in Normalenform (Methode 2: Normalenvektor mit dem Vektorprodukt bestimmen)
m13v0003 In diesem Video lernst du eine zweite Methode, um die Parameterform einer Ebene in die Normalenform zu überführen. Der Schlüssel zur Umwandlung ist die Bestimmung des Normalenvektors aus den beiden Spannvektoren. Dies geschieht mittels des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) der Spannvektoren, welches automatisch einen Vektor liefert, der senkrecht auf beiden steht. Das Video zeigt auch einen schnellen Trick zur Berechnung des Kreuzprodukts, was diese Methode wesentlich schneller macht als andere Ansätze. | auf teilen
m13v0003 In diesem Video lernst du eine zweite Methode, um die Parameterform einer Ebene in die Normalenform zu überführen. Der Schlüssel zur Umwandlung ist die Bestimmung des Normalenvektors aus den beiden Spannvektoren. Dies geschieht mittels des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) der Spannvektoren, welches automatisch einen Vektor liefert, der senkrecht auf beiden steht. Das Video zeigt auch einen schnellen Trick zur Berechnung des Kreuzprodukts, was diese Methode wesentlich schneller macht als andere Ansätze. | auf teilen
Parametergleichung der Ebene in Koordinatenform umwandeln
m13v0486 In diesem Video lernst du eine weite Methode zur Umwandlung einer Parametergleichung einer Ebene in die Koordinatenform kennen - per Eliminierung der Parameter mittels eines Verfahrens, das dem Gauß-Verfahren ähnelt. | auf teilen
m13v0486 In diesem Video lernst du eine weite Methode zur Umwandlung einer Parametergleichung einer Ebene in die Koordinatenform kennen - per Eliminierung der Parameter mittels eines Verfahrens, das dem Gauß-Verfahren ähnelt. | auf teilen
Normalenform einer Ebene in die Koordinatenform überführen (Beispiel 1 - ausführlich).
m13v0005 In diesem Video lernst du, wie du eine Ebenengleichung von der Normalenform in die Koordinatenform umwandelst. Die Normalenform beinhaltet den Normalenvektor und den Ortsvektor eines bekannten Punktes der Ebene. Die Einträge des Normalenvektors liefern dabei direkt die Koeffizienten (a, b, c) der Koordinatenform ax1 + bx2 + cx3 = d. Um die unbekannte Zahl d zu bestimmen, setzt du die Koordinaten des bekannten Punktes Ebenenpunktes in die Koordinatenform ein und berechnest den Wert. Dies ist der einfachste Weg für diese Umwandlung. | auf teilen
m13v0005 In diesem Video lernst du, wie du eine Ebenengleichung von der Normalenform in die Koordinatenform umwandelst. Die Normalenform beinhaltet den Normalenvektor und den Ortsvektor eines bekannten Punktes der Ebene. Die Einträge des Normalenvektors liefern dabei direkt die Koeffizienten (a, b, c) der Koordinatenform ax1 + bx2 + cx3 = d. Um die unbekannte Zahl d zu bestimmen, setzt du die Koordinaten des bekannten Punktes Ebenenpunktes in die Koordinatenform ein und berechnest den Wert. Dies ist der einfachste Weg für diese Umwandlung. | auf teilen
Normalenform einer Ebene in die Koordinatenform überführen (Beispiel 2 - kurz)
m13v0006 In diesem Video lernst du, wie man die Normalenform einer Ebene schnell in die Koordinatenform umwandelt. Du beginnst damit, die Einträge des Normalenvektors direkt als Koeffizienten (a, b, c) für x1, x2 und x3 in deiner Koordinatenform zu übernehmen. Anschließend setzt du die Koordinaten eines bekannten Punktes der Ebene – diesen findest du direkt im Ortsvektor der Normalenform – in die Gleichung ax1+bx2+cx3=d ein. Durch das Ausrechnen dieser Summe bestimmst du die unbekannte Zahl d. Das Video zeigt ein konkretes Beispiel, um diesen Prozess zu verdeutlichen. | auf teilen
m13v0006 In diesem Video lernst du, wie man die Normalenform einer Ebene schnell in die Koordinatenform umwandelt. Du beginnst damit, die Einträge des Normalenvektors direkt als Koeffizienten (a, b, c) für x1, x2 und x3 in deiner Koordinatenform zu übernehmen. Anschließend setzt du die Koordinaten eines bekannten Punktes der Ebene – diesen findest du direkt im Ortsvektor der Normalenform – in die Gleichung ax1+bx2+cx3=d ein. Durch das Ausrechnen dieser Summe bestimmst du die unbekannte Zahl d. Das Video zeigt ein konkretes Beispiel, um diesen Prozess zu verdeutlichen. | auf teilen
Koordinatengleichung in Parametergleichung umwandeln
m13v0004 In diesem Video lernst du, wie man eine Ebenengleichung von der Koordinatenform in die Parameterform umwandelt. Es wird eine sehr schnelle und einfache Methode gezeigt, die so gut wie ohne Rechnerei auskommt. Zuerst ermittelst du den Normalenvektor direkt aus den Koeffizienten der Koordinatenform. Anschließend lernst du einen schnellen Trick, um zwei auf diesem Normalenvektor senkrecht stehende Spannvektoren zu bestimmen. Zuletzt suchst du einen Stützvektor, indem du einen Punkt der Ebene findest, der die Koordinatenform erfüllt. | auf teilen
m13v0004 In diesem Video lernst du, wie man eine Ebenengleichung von der Koordinatenform in die Parameterform umwandelt. Es wird eine sehr schnelle und einfache Methode gezeigt, die so gut wie ohne Rechnerei auskommt. Zuerst ermittelst du den Normalenvektor direkt aus den Koeffizienten der Koordinatenform. Anschließend lernst du einen schnellen Trick, um zwei auf diesem Normalenvektor senkrecht stehende Spannvektoren zu bestimmen. Zuletzt suchst du einen Stützvektor, indem du einen Punkt der Ebene findest, der die Koordinatenform erfüllt. | auf teilen
Koordinatenform der Ebenengleichung in die Parameterform umwandeln - schnelle Methode
m13v0565 In einem früheren Video (m13v0004)hatten wir eine Methode kennengelernt, mit der man die Koordinatenform der Ebenengleichung in die Parameterform überführen kann. In diesem Video lernst du eine andere Methode kennen, die vielleicht noch schneller geht. | auf teilen
m13v0565 In einem früheren Video (m13v0004)hatten wir eine Methode kennengelernt, mit der man die Koordinatenform der Ebenengleichung in die Parameterform überführen kann. In diesem Video lernst du eine andere Methode kennen, die vielleicht noch schneller geht. | auf teilen
Ebenengleichungen ineinander umwandeln
m13v0700 In diesem Übungsvideo geht es um das Umformen von Ebenengleichungen zwischen den verschiedenen Formaten, also: Parameterform, allgemeine Normalenform, Punkt-Normalenform und Koordinatenform. Jede angegebene Form soll in die anderen Formen umgewandelt werden. | auf teilen
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m13v0700 In diesem Übungsvideo geht es um das Umformen von Ebenengleichungen zwischen den verschiedenen Formaten, also: Parameterform, allgemeine Normalenform, Punkt-Normalenform und Koordinatenform. Jede angegebene Form soll in die anderen Formen umgewandelt werden. | auf teilen
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Normalenform und Koordinatenform anpassen, so dass sie dieselbe Ebene beschreiben (Übung)
m13v0424 Eine Übungsaufgabe zur Umwandlung zwischen Normalen- und Koordinatenform einer Ebene. Dabei sollen vorgegebene Gleichungen mit Parametern so angepasst werden, dass diese dieselbe Ebene beschreiben. | auf teilen
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m13v0424 Eine Übungsaufgabe zur Umwandlung zwischen Normalen- und Koordinatenform einer Ebene. Dabei sollen vorgegebene Gleichungen mit Parametern so angepasst werden, dass diese dieselbe Ebene beschreiben. | auf teilen
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Eine Ebene in drei Darstellungsformen angeben (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform)
m13v0689 Die Beschreibung einer Ebene ist gegeben. Jetzt sollst du diese Ebene in Parameterform, Normalenform und Koordinatenform angeben. | auf teilen
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m13v0689 Die Beschreibung einer Ebene ist gegeben. Jetzt sollst du diese Ebene in Parameterform, Normalenform und Koordinatenform angeben. | auf teilen
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Welche Ebene in Parameterform entspricht der Ebene in Koordinatenform? (Übung)
m13v0439 Bei dieser Aufgabe geht es um die Darstellung einer Ebene in Parameterform und Koordinatenform. Es ist eine Koordinatenform gegeben, und du sollst entscheiden, welche der vier angegebenen Parametergleichungen eine Beschreibung der Ebene ist, welche in Koordinatenform vorgegeben ist (dabei kann es mehrere richtige Möglichkeiten geben). | auf teilen
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m13v0439 Bei dieser Aufgabe geht es um die Darstellung einer Ebene in Parameterform und Koordinatenform. Es ist eine Koordinatenform gegeben, und du sollst entscheiden, welche der vier angegebenen Parametergleichungen eine Beschreibung der Ebene ist, welche in Koordinatenform vorgegeben ist (dabei kann es mehrere richtige Möglichkeiten geben). | auf teilen
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Ebenengleichungen zuordnen und besondere Lage erkennen
m13v0470 Bei dieser Übung hast du Kärtchen mit Ebenengleichungen bzw. mit Beschreibungen von besonderen Ebenenlagen gegeben, und du sollst passende Kärtchen zuordnen. Dabei geht es darum, dass zu weißt, wie man Parameterform, Normalenform und Koordinatenform ineinander umwandelt und wie man an der Ebenengleichung eine besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem erkennen kann. | auf teilen
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m13v0470 Bei dieser Übung hast du Kärtchen mit Ebenengleichungen bzw. mit Beschreibungen von besonderen Ebenenlagen gegeben, und du sollst passende Kärtchen zuordnen. Dabei geht es darum, dass zu weißt, wie man Parameterform, Normalenform und Koordinatenform ineinander umwandelt und wie man an der Ebenengleichung eine besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem erkennen kann. | auf teilen
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Lagebeziehungen von Ebenen zueinander
... wenn beide Ebenen in Koordinatenform gegeben sind
m13v0107 In diesem Video wird erklärt, wie man die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersucht, wenn diese beide in Koordinatenform gegeben sind, und wie man - sofern vorhanden - die Schnittgerade bestimmt.
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m13v0107 In diesem Video wird erklärt, wie man die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersucht, wenn diese beide in Koordinatenform gegeben sind, und wie man - sofern vorhanden - die Schnittgerade bestimmt.
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... wenn eine Ebene in Koordinatenform, eine in Parameterform gegeben ist
m13v0108 In diesem Video wird erklärt, wie man die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersucht, wenn eine in Parameterform, die andere in Koordinatenform gegeben ist, und wie man - sofern vorhanden - die Schnittgerade bestimmt. | auf teilen
m13v0108 In diesem Video wird erklärt, wie man die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersucht, wenn eine in Parameterform, die andere in Koordinatenform gegeben ist, und wie man - sofern vorhanden - die Schnittgerade bestimmt. | auf teilen
Gegenseitige Lage: zwei Ebenen in Koordinatenform (So ähnlich im Abi gesehen)
m13v0440 Eine mehrteilige Übungsaufgabe zu Ebenen, die in Koordinatenform angegeben sind. Es geht um Punktproben, gegenseitige Lage von Ebenen. Diese hilfsmittelfreie Aufgabe ist eine typische Aufgabe aus dem Bereich der Analytischen Geometrie, wie sie in Klausuren (oder im Abi) gestellt werden könnte. | auf teilen
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m13v0440 Eine mehrteilige Übungsaufgabe zu Ebenen, die in Koordinatenform angegeben sind. Es geht um Punktproben, gegenseitige Lage von Ebenen. Diese hilfsmittelfreie Aufgabe ist eine typische Aufgabe aus dem Bereich der Analytischen Geometrie, wie sie in Klausuren (oder im Abi) gestellt werden könnte. | auf teilen
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Ebenen und ihre Schnittgerade, zeichnerisch und rechnerisch (so ähnlich im Abi gesehen)
m13v0608 Bei dieser Aufgabe aus der Serie "So ähnlich in Abi gesehen" geht es um die zeichnerische Darstellung zweier Ebenen und ihrer Schnittgeraden im Koordinatensystem. Außerdem soll die Gleichung der Schnittgerade auch rechnerisch bestätigt werden. | auf teilen
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m13v0608 Bei dieser Aufgabe aus der Serie "So ähnlich in Abi gesehen" geht es um die zeichnerische Darstellung zweier Ebenen und ihrer Schnittgeraden im Koordinatensystem. Außerdem soll die Gleichung der Schnittgerade auch rechnerisch bestätigt werden. | auf teilen
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Nachweisen, dass sich 3 Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden und Schnittgerade bestimmen
m13v0735 Diese Transferaufgabe erfordert das Zusammenführen von Kenntnissen über die Lagebeziehung von Ebenen und die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen. Eine typische Aufgabe für den hilfsmittelfreien Teil in der Klausur. | auf teilen
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m13v0735 Diese Transferaufgabe erfordert das Zusammenführen von Kenntnissen über die Lagebeziehung von Ebenen und die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen. Eine typische Aufgabe für den hilfsmittelfreien Teil in der Klausur. | auf teilen
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Ebenenscharen
Ebenenschar untersuchen: Ebenenbüschel nachweisen und Schnittgerade bestimmen
m13v0657 Hier sollst du nachweisen, dass es sich bei einer gegebenen Ebenenschar um ein Ebenenbüschel handelt. Die gemeinsame Schnittgerade ist zu bestimmen. | auf teilen
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m13v0657 Hier sollst du nachweisen, dass es sich bei einer gegebenen Ebenenschar um ein Ebenenbüschel handelt. Die gemeinsame Schnittgerade ist zu bestimmen. | auf teilen
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Ebenenscharen - klausurtypische Aufgabe
m13v0730 In diesem Video behandeln wir eine typische Klausuraufgabe zu Ebenenscharen, bei der wir verschiedene Aspekte der Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene in Abhängigkeit vom Scharparameter untersuchen. | auf teilen
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m13v0730 In diesem Video behandeln wir eine typische Klausuraufgabe zu Ebenenscharen, bei der wir verschiedene Aspekte der Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene in Abhängigkeit vom Scharparameter untersuchen. | auf teilen
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Untersuche, ob die Ebene zur Ebenenschar gehört.
m13v0671 Bei dieser Aufgabe soll untersucht werden, ob eine gegebene Ebene zu einer Ebenenschar gehört. | auf teilen
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m13v0671 Bei dieser Aufgabe soll untersucht werden, ob eine gegebene Ebene zu einer Ebenenschar gehört. | auf teilen
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Lineares Gleichungssystem (LGS) so erstellen, dass es ein Ebenenbüschel darstellt
m13v0803 Bestimme die zwei Parameter in einem linearen Gleichungssystem (LGS) so, dass die Gleichungen ein Ebenenbüschel bilden, das sich in einer gemeinsamen Geraden (Trägergerade) schneidet. Anschließend sollst du eine Gleichung dieser Trägergeraden aufstellen. | auf teilen
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m13v0803 Bestimme die zwei Parameter in einem linearen Gleichungssystem (LGS) so, dass die Gleichungen ein Ebenenbüschel bilden, das sich in einer gemeinsamen Geraden (Trägergerade) schneidet. Anschließend sollst du eine Gleichung dieser Trägergeraden aufstellen. | auf teilen
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Ebenen und Geraden im Zusammenspiel
Lage Gerade (Parameterform) - Ebene (Koordinatenform)
m13v0015 In diesem Video zeige ich, wie man die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene bestimmt, wenn die Gerade in Parameterform und die Ebene in Koordinatenform gegeben ist. | auf teilen
m13v0015 In diesem Video zeige ich, wie man die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene bestimmt, wenn die Gerade in Parameterform und die Ebene in Koordinatenform gegeben ist. | auf teilen
Lagebeziehung Gerade-Ebene | MST-Serie
m13v0694 Kannst du aus den angegebenen Bedingungen zu Stütz-, Richtungs- und Normalenvektoren ergründen, welche (besondere) Lage zwischen Gerade und Ebene vorliegt? | auf teilen
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m13v0694 Kannst du aus den angegebenen Bedingungen zu Stütz-, Richtungs- und Normalenvektoren ergründen, welche (besondere) Lage zwischen Gerade und Ebene vorliegt? | auf teilen
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Alle Ebenen bestimmen, die parallel zu einer gegebenen Geraden liegen.
m13v0213 Eine Übungsaufgabe zum Thema Ebenen und Geraden: Eine Gerade ist gegeben, und man soll alle Ebenen bestimmen, die parallel zu dieser Geraden liegen.
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m13v0213 Eine Übungsaufgabe zum Thema Ebenen und Geraden: Eine Gerade ist gegeben, und man soll alle Ebenen bestimmen, die parallel zu dieser Geraden liegen.
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Gerade, Ebene, Schnittpunkt, gegenseitige Lage (So ähnlich im Abi gesehen)
m13v0380 In diesem Video geht es um die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade und einer Ebene (in Koordinatenform gegeben). Außerdem soll geprüft werden, ob die Gerade die Ebene senkrecht schneidet. Ein weiteres Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen"; eine ähnlich Aufgabe wurde im hilfsmittelfreien Teil im Abi des Landes NRW im Jahr 2017 gestellt.
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m13v0380 In diesem Video geht es um die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade und einer Ebene (in Koordinatenform gegeben). Außerdem soll geprüft werden, ob die Gerade die Ebene senkrecht schneidet. Ein weiteres Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen"; eine ähnlich Aufgabe wurde im hilfsmittelfreien Teil im Abi des Landes NRW im Jahr 2017 gestellt.
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Lagebeziehung Gerade-Ebene: Gerade an Ebene spiegeln
m13v0670 Eine Aufgabe zur Lagebeziehung Gerade − Ebene: zunächst Parallelität einer Gerade zur Ebene nachweisen und dann die Gerade an der Ebene spiegeln. | auf teilen
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m13v0670 Eine Aufgabe zur Lagebeziehung Gerade − Ebene: zunächst Parallelität einer Gerade zur Ebene nachweisen und dann die Gerade an der Ebene spiegeln. | auf teilen
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Geraden, die Ebene aufspannen; besondere Lage der Ebene (So ähnlich im Abi gesehen)
m13v0545 Bei diesem Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" soll gezeigt werden, dass sich zwei Geraden senkrecht schneiden und der Schnittpunkt soll angegeben werden. Schneidende Geraden definieren natürlich eine Ebene; diese soll in Koordinatenform angegeben werden. Bei dieser Aufgabe kann man (mit dem notwendigen Background-Wissen) vieles ohne Rechnung bestimmen ? von daher vielleicht eine interessante, hilfsmittelfreie Aufgabe. | auf teilen
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m13v0545 Bei diesem Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" soll gezeigt werden, dass sich zwei Geraden senkrecht schneiden und der Schnittpunkt soll angegeben werden. Schneidende Geraden definieren natürlich eine Ebene; diese soll in Koordinatenform angegeben werden. Bei dieser Aufgabe kann man (mit dem notwendigen Background-Wissen) vieles ohne Rechnung bestimmen ? von daher vielleicht eine interessante, hilfsmittelfreie Aufgabe. | auf teilen
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Lageuntersuchung Ebene vs. Geradenschar
m13v0733 Eine Ebene und eine Gerade können sich in verschiedenen räumlichen Anordnungen zueinander befinden. In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und den Geraden einer Geradenschar möglich sind. | auf teilen
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m13v0733 Eine Ebene und eine Gerade können sich in verschiedenen räumlichen Anordnungen zueinander befinden. In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und den Geraden einer Geradenschar möglich sind. | auf teilen
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Gerade und Ebene (so ähnlich im Abi gesehen)
m13v0492 Bei diesen Aufgaben aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" geht es um das Wechselspiel zwischen Ebene (angegeben in Koordinatenform) und Gerade.
Zu einen soll die Parametergleichung der Geraden g so ergänzt werden, dass diese in der angegebenen Ebene liegt; zum zweiten soll man dann eine weitere Gerade bestimmen, die ebenfalls in der Ebene liegt und die senkrecht zur Geraden g liegt. | auf teilen
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m13v0492 Bei diesen Aufgaben aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" geht es um das Wechselspiel zwischen Ebene (angegeben in Koordinatenform) und Gerade.
Zu einen soll die Parametergleichung der Geraden g so ergänzt werden, dass diese in der angegebenen Ebene liegt; zum zweiten soll man dann eine weitere Gerade bestimmen, die ebenfalls in der Ebene liegt und die senkrecht zur Geraden g liegt. | auf teilen
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Gerade, senkrecht zur Ebene: Schnittpunkt und weitere Punkte bestimmen (So ähnlich im Abi gesehen)
m13v0547 Bei diesem Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" geht es um den rechnerischen Nachweis der senkrechten Ausrichtung einer Gerade zu einer Ebene, welche in Koordinatenform angegeben ist; auch der Schnittpunkt ist zu bestimmen. Außerdem sollst du zeigen, dass du die Methode der graphischen Vektoraddition verstehst, mit der weitere Punkte zu ermitteln sind. | auf teilen
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m13v0547 Bei diesem Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" geht es um den rechnerischen Nachweis der senkrechten Ausrichtung einer Gerade zu einer Ebene, welche in Koordinatenform angegeben ist; auch der Schnittpunkt ist zu bestimmen. Außerdem sollst du zeigen, dass du die Methode der graphischen Vektoraddition verstehst, mit der weitere Punkte zu ermitteln sind. | auf teilen
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Vektorielle Geradengleichung aufstellen mit besonderer Lage zu gegebener Ebene
m13v0794 Bei dieser Aufgabe sollst du die Gleichung einer Geraden aufstellen, die gegebene Eigenschaften erfüllt. Sie soll orthogonal zu einer gegebenen Ebene stehen und die y-Achse in einem Punkt schneiden, der einen bestimmten Abstand zu einem weiteren angegebenen Punkt hat. Damit ist dies eine komplexe Aufgabe, die mit mehreren Kompetenzen bedient werden muss. | auf teilen
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m13v0794 Bei dieser Aufgabe sollst du die Gleichung einer Geraden aufstellen, die gegebene Eigenschaften erfüllt. Sie soll orthogonal zu einer gegebenen Ebene stehen und die y-Achse in einem Punkt schneiden, der einen bestimmten Abstand zu einem weiteren angegebenen Punkt hat. Damit ist dies eine komplexe Aufgabe, die mit mehreren Kompetenzen bedient werden muss. | auf teilen
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Gerade, Ebene, Gerade gespiegelt an Ebene (so
m13v0554 Ein weiteres Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". Hier geht es im Wesentlichen (1.) um das Aufstellen einer Gerade, die durch zwei Punkte geht; (2.) um den Nachweis, dass diese Gerade senkrecht zu einer Ebene (gegeben in Koordinatenform) steht; (3) um das Aufstellen der Gleichung einer Geraden, die durch Spiegelung einer anderen Geraden an einer Ebene entsteht. | auf teilen
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m13v0554 Ein weiteres Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". Hier geht es im Wesentlichen (1.) um das Aufstellen einer Gerade, die durch zwei Punkte geht; (2.) um den Nachweis, dass diese Gerade senkrecht zu einer Ebene (gegeben in Koordinatenform) steht; (3) um das Aufstellen der Gleichung einer Geraden, die durch Spiegelung einer anderen Geraden an einer Ebene entsteht. | auf teilen
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Gerade an Ebene spiegeln (so ähnlich im Abi gesehen)
m13v0610 Bei dieser Aufgabe soll zunächst die gegenseitige Lage zwischen Gerade und Ebene (in Koordinatenform) untersucht werden. Danach soll die Gerade an der Ebene gespiegelt werden und eine Gleichung der gespiegelten Gerade ermittelt werden. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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m13v0610 Bei dieser Aufgabe soll zunächst die gegenseitige Lage zwischen Gerade und Ebene (in Koordinatenform) untersucht werden. Danach soll die Gerade an der Ebene gespiegelt werden und eine Gleichung der gespiegelten Gerade ermittelt werden. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | auf teilen
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Dieses Kapitel "Ebenen II" baut auf den Grundlagen von "Ebenen I" auf, wo du die Parametergleichung der Ebene kennengelernt hast. Hier lernst du zwei weitere wichtige Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen kennen: die Normalenform und die Koordinatenform. Ein zentrales Thema dieses Kapitels ist auch die Umwandlung zwischen den verschiedenen Formen der Ebenengleichung. Beachte bitte, dass sich dieses Kapitel hauptsächlich auf Ebenen in Normalen- oder Koordinatenform konzentriert. Die Lageuntersuchung zwischen einer Geraden und einer Ebene in Parameterform wurde bereits im Kapitel "Ebenen I" behandelt.