Zusammengesetze Funktionen

Inzwischen kennst du bereits viele Funktionsklassen: lineare, quadratische, Potenz- und trigonometrische Funktionen sowie viele andere. Dir war sicherlich bewusst, dass komplexe Funktionen aus einfacheren Funktionen zusammengesetzt werden können. Zum Beispiel ist eine Polynomfunktion im Grunde genommen nur eine Summe von Potenzfunktionen.
In diesem Kapitel werden wir uns näher mit zusammengesetzten Funktionen befassen und untersuchen, wie man aus bereits existierenden Funktionen neue erstellen kann. Neben den grundlegenden Zusammensetzungen wie der additiven oder multiplikativen Zusammensetzung werden wir auch komplexere Formen wie die Verkettung und Mischformen betrachten.
Außerdem werden wir neue Methoden kennenlernen, um zusammengesetzte Funktionen abzuleiten oder zu integrieren.



Verkettung zweier linearer Funktionen

 m13v0476  In diesem Übungsvideo betrachten wir die Verkettung zweier linearer Funktionen. Du sollst bestimmen, welche Steigung der Graph solch einer verketteten Funktion hat; dabei sind die beiden möglichen Richtungen der Verkettung zu berücksichtigen. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Funktionen vom Typ f(x)=(ganzrat. Funkt.)·(e-Funktion) - Nullstellenbestimmung

 m13v0530  Hier wird gezeigt, warum die Nullstellenbestimmung bei Funktionen des Typs f(x)=(ganzrationale Funktion)·(e-Funktion) relativ einfach ist. Antwort: weil der e-Funktionsfaktor selber keine Nullstellen hat. Die Nullstellen der zusammengesetzten Funktion sind also die Nullstellen der ganzrationalen Funktion, die als Faktor in der Funktion auftritt. Hier wird am Beispiel die Nullstellenbestimmung solcher zusammengesetzen Funktionen vorgemacht. | auf  teilen



MST: Nullstellen von zusammengesetzen Funktionen durch Hingucken erkennen

 m13v0585  Die Bestimmung der Nullstellen einer zusammengesetzten Funktion des Typs f(x)=(ganzrationale Funktion)·(e-Funktion) ist sehr einfach, ja das kann sogar so einfach sein, dass man die Nullstellen im Kopf bestimmen kann. Ist dir klar, warum es in der Regel einfach ist? - Ein Video aus der Serie "Mathematisches Schnellkrafttraining". | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Funktionen vom Typ f(x)=(ganzrat. Funkt.)·(e-Funktion) - Grenzverhalten x gegen plus/minus unendlich

 m13v0531  In diesem Video betrachten wir nun, wie man das Grenzverhalten für x→±∞ für die Funktion des Typs f(x)=(ganzrationale Funktion)·(e-Funktion) untersucht. Dazu schaut man sich das Grenzverhalten der einzelnen Faktoren an und berücksichtigt − falls erforderlich −, dass das Grenzverhalten einer e-Funktion über das einer ganzrationalen Funktion dominiert. | auf  teilen



Funktionen vom Typ f(x)=(ganzrat. Funkt.)·(e-Funktion) - Richtig Ausklammern nach dem Ableiten

 m13v0533  Dieses Video behandelt den Schritt, der nach dem Ableiten unserer Funktion des Typs f(x)=(ganzrationale Funktion)·(e-Funktion) folgen sollte, bei dem aber gerne mal Fehler gemacht werden: gemeint ist das Ausklammern, um die Ableitung − welche man nach Anwendung der Produktregel erhalten hat − in die faktorisierte Form zu überführen... | auf  teilen



Funktionen vom Typ f(x)=(ganzrat. Funkt.)·(e-Funktion) - Formel fürs schnellere Ableiten

 m13v0535  In diesem Video wird eine Formel für das schnelle Ableiten von Funktionen des Typs f(x)=(ganzrat. Funktion)·(e-Funktion) hergeleitet. Diese Formel liefert direkt die faktorisierte Form der Ableitung, die man ja z.B. zur Bestimmung von Extremstellen benötigt. | auf  teilen



Zusammengesetzte Exponentialfunktionen: Nullstellen, Randverhalten, Asymptote, Graph

 m13v0683  Für eine Reihe von zusammengesetzten e-Funktionen sollen Funktionseigenschaften ermittelt werden, die man schon durch "bloßes Hinschauen" erkennen kann. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Grenzwerte zusammengesetzter e-Funktionen: Annäherung an Grenzwert von oben oder unten

 m13v0709  Dies ist eine weitere Übungsaufgabe zur Grenzwertuntersuchung von zusammengesetzten e-Funktionen. Bei Vorliegen einer waagerechten Asymptoten wird auch die Art der Annäherung (von oben oder unten) untersucht. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Stammfunktion von zusammengesetzter e-Funktion über Formansatz mit Koeffizientenvergleich

 m13v0570  Für eine zusammengesetzte Funktion f, die das Produkt aus ganzrationaler Funktion und e-Funktion ist, kann man sehr elegant eine Stammfunktion bestimmen, so wie es in diesem Video vorgemacht wird - dabei ähnelt die Vorgehensweise ein bisschen einer Steckbriefaufgabe. Hierbei wird keine Integrationsregel angewandt, sondern man nutzt die Eigenschaft der Stammfunktion F, dass F'(x)=f(x) ist, aus. Man benötigt einen (einfachen) Ansatz der Stammfunktion, dann ein bisschen Produktregel der Ableitung und schließlich Koeffizientenvergleich, und schon erhält erhältst du eine Stammfunktion...  | auf  teilen



Funktionsuntersuchungen einer zusammengesetzten Funktion mit e-Funktion (Teil 1)

 m13v0590  Dies ist Teil 1 der vollständigen Funktionsuntersuchung einer zusammengesetzten Funktion mit e-Funktion. Darin besprochen: (a.) Definitionsbereich, (b.) Symmetrie, (c.) Nullstellen, (d.) Verhalten an den Definitionsrändern. Zu dieser Aufgabe gibt es auch noch einen Teil 2 (m13v0591). | Arbeitsblatt zum DownloadMusterlösung auf Patreon | auf  teilen



Funktionsuntersuchungen einer zusammengesetzten Funktion mit e-Funktion (Teil 2)

 m13v0591  Dies ist Teil 2 der vollständigen Funktionsuntersuchung einer zusammengesetzten Funktion mit e-Funktion. Hier geht es weiter mit der Bestimmung der Extrem- und Wendepunkte, anschließend wird der Graph der Funktion anhand der ermittelten Informationen gezeichnet. Für Teil 1, siehe Video m13v0590. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Besondere Eigenschaften einer verketteten E-Funktion nachweisen

 m13v0655  Dies ist eine Übungsaufgabe, bei der eine besondere Eigenschaft einer verketteten e-Funktion nachgewiesen werden soll. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Zusammengesetzte Funktion mit e-Funktion, Extremstelle und graphisches Ableiten (So ähnlich im Abi)

 m13v0594  Für eine zusammengesetzte Funktion, die eine e-Funktion enthält, soll die Extremstelle bestimmt werden und durch graphisches Ableiten soll der Graph der Ableitungsfunktion ermittelt werden. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | Arbeitsblatt zum DownloadMusterlösung auf Patreon | auf  teilen



Zeigen, dass F eine Stammfunktion von f ist - Warum (Beispiel zusammengesetzte Funktionen)

 m13v0593  Weil die Integration des Funktionstyps f(x)=(ganzrationale Funktion)·(e-Funktion) über das Niveau des Grundkurses hinausgeht, man aber die Stammfunktion F für einige Standardaufgaben benötigt, wird häufig die Zwischenaufgabe "Zeige, dass F eine Stammfunktion von f ist" eingefügt. Dadurch sollst du zum einen zeigen, dass du die Definition einer Stammfunktion kennst, und außerdem kannst du die angegebene Stammfunktion dann bei nachfolgenden Aufgaben verwenden. Das Video zeigt dies im Kontext einer Beispielaufgabe... | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



zusammengesetzte e-Funktionen: Definitionsbereich, Asymptoten, Polynomdivision

 m13v0711  Bei mit e-Funktionen zusammengesetzten Funktionen, die als Bruchfunktionen auftreten, kann es Definitionslücken wie Polstellen und hebbare Lücken geben. Auch soll bei diesen Aufgaben das Grenzverhalten für x→±∞ und das Vorliegen horizontaler Asymptoten untersucht werden. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Definitionsbereich verketteter Funktionen - so ähnlich im Abi gesehen

 m13v0721  In dieser Aufgabe geht es darum, den Graphen einer ganzrationalen Ausgangsfunktion f zu skizzieren und dabei die Vielfachheit der Nullstellen, den y-Achsenabschnitt und die Grenzwerte für x→±∞ zu berücksichtigen. Außerdem werden drei neue Funktionen als verkettete Funktionen von f betrachtet. Es wird erläutert, wie man den maximalen Definitionsbereich jeder Funktion bestimmt und welche Schritte dabei zu beachten sind. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen