Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine bestimme Verrechnungsart zweier Vektoren, die eine Zahl als Ergebnis liefert. Das Skalarprodukt ist sehr wichtig und nützlich. Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man bestimmen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, und das Skalarprodukt kommt in einer Formel vor, mit der man den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kann. Später, wenn es um die vektorielle Darstellung von Geraden und Ebenen geht, ist das Skalarprodukt ein wichtiges Hilfsmittel, um die besondere Lage von Geraden und Ebenen zu untersuchen.



Herleitung des Skalarprodukts

 m13v0369  In diesem Video geht es um die Herleitung des Skalarprodukts. Ausgehend von der Frage, welchen Winkel zwei Vektoren einschließen, macht man sich zunächst klar, dass zwei Vektoren ein Dreieck aufspannen. Mit Hilfe des Kosinussatzes wird dann eine Formel entwickelt, mit der man den Winkel der beiden Vektoren bestimmen kann. In dieser Formel kommt ein besonderer Term vor, den man als sogenanntes Skalarprodukt definiert hat. | auf  teilen



Zeige, dass das Assoziativgesetz für das Skalarprodukt nicht gilt
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 m13v0664  Welche Rechengesetze gelten für das Skalarprodukt? - Zeige durch ein Gegenbeispiel, dass das "Assoziativgesetz" für das Skalarprodukt nicht gilt.



Mit Skalarprodukt prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander sind

 m13v0220  In diesem Video lernst du, wie man mit Hilfe des Skalarprodukts überprüfen kann, ob zwei Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander stehen. Dies ist eine wichtige Grundanwendung des Skalarprodukts, die in vielfacher Weise angewendet wird. | auf  teilen



Sind die beiden abgebildeten Vektoren senkrecht zueinander?

 m13v0642  Sind zwei Vektoren, die augenscheinlich senkrecht aufeinander stehen, tatsächlich senkrecht zueinander? - Mit dem Skalarprodukt kann man dies überprüfen... | Skript zum Download | auf  teilen



Für welchen Wert von a sind die Skalarproduktgleichungen erfüllt?
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 m13v0663  Hier sollst du Vektorgleichungen lösen, in denen das Skalarprodukt vorkommt... Ein häufig vorkommender Aufgabentyp.



Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen

 m13v0221  In diesem Video lernst du, wie man mit Hilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kannst.  | auf  teilen



Innenwinkel im Dreieck mit Skalarprodukt bestimmen

 m13v0516  Gegeben sind die Punkte eines Dreiecks und man soll die Innenwinkel bestimmen. Dies ist eine typische Anwendungsaufgabe zur Kosinusformel des Skalarprodukts zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren.  | auf  teilen



Mit Skalarprodukt schnell senkrechten Vektor finden

 m13v0158  Wenn man einen Vektor gegeben hat und ganz schnell irgendeinen Vektor sucht, der zu diesem Vektor senkrecht (orthogonal) steht, so kann man dies ganz ohne Rechnen und ganz schnell machen. Dieses Video zeigt wie das geht. | auf  teilen



Die Skalarproduktformel zur Berechnung der Länge (Betrag) eines Vektors

 m13v0432  In diesem Video wird eine interessante Eigenschaft des Skalarproduktes besprochen, nämlich der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Vektorlänge (Betrag des Vektors). | auf  teilen



Skalarprodukt: Nur mit Eigenschaften der Vektoren rechnen, aber ohne die konkreten Vektoren.

 m13v0643  Mit dieser Aufgabe kannst du prüfen, ob du das Wesen des Skalarproduktes verstanden hast, da hier mehrere Aspekte über das Skalarprodukt zusammengebracht werden müssen, um den Wert eines Vektorterms zu berechnen. Versuche es mal! | Skript zum Download | auf  teilen



Anwendungen des Skalarprodukts



Übung: Anwendung des Skalarprodukts - rechtwinkliges Dreieck gesucht

 m13v0296  Dieses Übungsvideo behandelt (1.) das Einzeichnen von Punkten ins dreidimensionale Koordinatensystem und (2.) die Anwendung des Skalarproduktes zur Konstruktion eines rechwinkligen Dreiecks. Dies ist ein Video aus der Reihe So ähnlich im Abi gesehen. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Anwendung des Skalarprodukts: Höhe im Quader so bestimmen, dass sich Raumdiagonalen senkrecht schneiden

 m13v0505  Eine Anwendung des Skalarprodukts: man soll die Höhe eines Quaders bei gegebener Grundfläche so bestimmen, dass sich die Raumdiagonalen senkrecht schneiden. | Skript zum Download | auf  teilen



Geraden und Punkte mit besonderer Lage zueinander und Abstandsberechnung (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0581  Eine Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen", bei der es um die Strategieentwicklung beim Lösungsweg geht. Mehrere Kompetenzen sind hier anzuwenden: Welche Eigenschaften haben parallele Geraden? Wie ist das Orthogonalitätskriterium anzuwenden, um das Lot auf eine Gerade durch einen Punkt zu fällen? Und wie bestimmt man den Abstand paralleler Geraden? | Skript zum Download | auf  teilen



Einen von drei Vektoren ausgespannten Körper untersuchen (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0564  Bei dieser Aufgabe soll ein durch drei Vektoren aufgespannter Körper untersucht werden. Einen Körper, der durch drei Vektoren aufgespannt ist, bezeichnet man als Spat. Hier soll gezeigt werden, dass es sich bei diesem Spat um einen Quader handelt. Außerdem soll das Volumen des Quaders bestimmt werden. Diese Aufgabe soll ohne Hilfsmittel gelöst werden. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Dreiecke und Vektorrechnung: Fußpunkt der Höhe bestimmen

 m13v0437  Drei Punkte eines Dreiecks ABC sind geben. Nun soll man mit Hilfe der Vektorrechnung den Fußpunkt der Höhe über der Grundseite AB berechnen. Diese Aufgabe soll mit den Mitteln gelöst werden, die man zu Anfang der Vektorrechnung lernt, also: Vektorzüge bestimmen und Skalarprodukt anwenden. Über die Höhe und der Grundseite kann man dann z.B. den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen.  | auf  teilen



Raute aus Punkten erstellen (so ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0595  Dies ist eine typische Konstruktionsaufgabe aus dem Gebiet der Vektorrechnung: Du sollst eine Raute konstruieren, indem du zunächst ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert, welches du dann über einen weiteren Punkt zur Raute ergänzt. Auch sollst du wissen, wie man prüft, ob eine Raute ein Quadrat ist. Eine Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | Skript zum Download | auf  teilen



Drei Punkte zu einem Rechteck ergänzen (dabei: Punkt mit Parameter)

 m13v0620  Drei Punkte sind gegeben, einer der Punkte enthält einen Parameter. Nun sollst du diese Punkte durch einen weiteren Punkt so ergänzen, dass man ein Rechteck erhält. Ahnst du schon, dass das Skalarprodukt hier ins Spiel kommt? | Skript zum Download | auf  teilen



Alle möglichen Werte einer Koordinate im Dreieckspunkt bestimmen, so dass das Dreieck rechtwinklig ist

 m13v0641  Die Punkte A, B und C eines Dreiecks sind gegeben. Die x1-Koordinate von A enthält einen Parameter k. Nun sollst du alle Werte von k bestimmen, so dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. Dies ist eine typische Aufgabe, bei der das Skalarprodukt zum Einsatz kommt. | Skript zum Download | auf  teilen



Dreieck untersuchen mit Vektorrechnung (so ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0609  Drei Punktes eines Dreiecks sind gegeben, wobei einer der Punkte in Abhängigkeit eines Parameters angegeben ist. Jetzt sollst du zeigen, dass alle Dreiecke im Punkt A rechtwinklig sind. Außerdem sollst du den Parameter so bestimmen, dass das Dreieck zusätzlich auch gleichschenklig ist. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". | Skript zum Download | auf  teilen



Vektorrechnung: Dreieck und Pyramide (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0623  Bei dieser Aufgabe musst du einige Kompetenzen zusammenfügen: (1) Woran erkennt man, dass drei Punkte eine besondere Lage im Koordinatensystem haben? (2) Wie prüft man, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt? (3) In welchem Zusammenhang stehen Grundfläche und Volumen einer Pyramide? | Skript zum Download | auf  teilen



Beweise mit Vektoren: eine Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks
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 m13v0681  Ein Video zum Aufgabentyp „Beweise mit Vektoren“: Hier soll eine besondere Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks bewiesen werden.