Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt)

Das Vektorprodukt (oder auch Kreuzprodukt) ist eine Verrechnungsart von Vektoren, die als Ergebnis einen Vektor liefert (im Gegensatz zum Skalarprodukt, bei dem aus der Verrechnung zweier Vektoren eine Zahl entsteht). Das Vektorprodukt ist wichtig für viele Anwendungen, z.B. die schnelle Ermittlung von Normalenvektoren (wichtig bei der Aufstellung von Ebenengleichungen) oder für Flächen- und Volumenberechnungen. Sogar für verschiedene Arten der Abstandsberechnung zwischen Punkt, Gerade und Ebene lässt sich das Vektorprodukt verwenden. In der Schule wird das Vektorprodukt manchmal im Grundkurs nicht behandelt - schade eigentlich, denn es macht viele ansonsten umständlicher Berechnungsmethoden einfacher.



Vektorprodukt (Kreuzprodukt) schnell und einfach berechnen

 m13v0042  In Lehrbüchern und Formelsammlungen findet man eine komplizierte Formel zur Berechnung des Vektorprodukts. In diesem Video wird eine pfiffige Methode vorgestellt, mit der man schnell und übersichtlich das Vektorprodukt zweier Vektoren bestimmen kann, ohne diese Formel auswendig lernen zu müssen. | auf  teilen



Eigenschaften des Vektorprodukts allgemein nachweisen (1)
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Eigenschaft des Vektorprodukts nachweisen (2): Antikommutativität
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Mittels Vektorprodukt Normalenvektor zu zwei Vektoren bestimmen

 m13v0260  Manchmal sucht man einen Vektor, der gleichzeitig senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren steht. Dies ist ein sogenannter Normalenvektor. Mit Hilfe des Vektorproduktes kann man einen solchen Normalenvektor bestimmen. Die Bestimmung eines Normalenvektors ist zum Beispiel wichtig, wenn kann die Parametergleichung einer Ebene in die Normalenform (oder Koordinatenform) umwandeln möchte.  | auf  teilen



Mittels Vektorprodukt Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck berechnen

 m13v0261  In diesem Video wird gezeigt, wie man mit Hilfe des Vektorprodukts (auch Kreuzprodukt genannt) sehr einfach den Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck bestimmen kann. Ein Parallelogramm werden durch zwei Vektoren aufgespannt. Das Vektorprodukt dieser Aufspannvektoren ergibt einen Vektor, dessen Betrag (also Länge) dem Flächeninhaltswert des aufgespannten Parallelogramms entspricht. Wenn man berücksichtigt, dass ein Dreieck ebenfalls durch zwei Vektoren aufgespannt wird, welches die halbe Fläche des entsprechenden Parallelogramms hat, kann man über das Vektorprodukt der Aufspannvektoren auch die Fläche des Dreiecks bestimmen. Im Video wird es genau erklärt - auch mit Beispielen. | auf  teilen



Mittels Vektorprodukt Höhe im Dreieck bzw. Parallelogramm bestimmen

 m13v0391  In diesem Video wird eine weitere Anwendung des Vektorprodukts (Kreuzprodukts) gezeigt: Die Bestimmung der Höhe in einem Dreieck bzw. Parallelogramm. Wir hatten ja schon in einem früheren Video gesehen, dass sich mit Hilfe des Vektorprodukts sehr einfach die Fläche eines Parallelogramms bzw. Dreiecks ermitteln lässt. Die elementargeometrischen Formeln zur Berechnung der Fläche von Dreieck (bzw. Parallelogramm) lässt sich nach der Höhe auflösen. Drückt man dann die Grundseite als Vektor aus und nimmt dessen Betrag, so gelangt man zu einer Formel für die Höhe. Das Video zeigt, wie das geht. | auf  teilen

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Herleitung des Spatprodukts zur Volumenberechnung eines Spats

 m13v0529  Ein Spat ist ein Körper, der durch drei Vektoren (die nicht in einer Ebene liegen) aufgespannt wird. In diesem Video wird das sogenannte Spatprodukt hergeleitet - dies ist eine Kombination von Vektorprodukt und Skalarprodukt. Über das Spatprodukt lässt sich sehr einfach das Volumen eines Spats bestimmen. Im Video wird die Spatprodukt-Formel hergeleitet, und es wird ein Anwendungsbeispiel gezeigt. | auf  teilen



MST: Rechenoperationen mit Vektoren - ist das Ergebnis ein Skalar, ein Vektor oder nicht definiert?

 m13v0634  In der Vektorrechnung gibt es die Multiplikation in mehrfacher Form: als (1) Multiplikation zwischen Skalar und Vektor, (2) als Skalarprodukt zweier Vektoren und (3) als Vektorprodukt. Für die Fälle (1) und (2) wird oft der "normale" Malpunkt "∙" verwendet. Bei dieser Aufgabe sollst du Rechenausdrücke dahingehend überprüfen, ob das Ergebnis ein Skalar ist oder ein Vektor, oder ob der Ausdruck gar sinnvoll ist. | Skript zum Download | auf  teilen



MST-Serie: Die Bedeutung von Vektorgleichungen geometrisch interpretieren

 m13v0625  Es sind drei Vektorgleichungen gegeben, die für zwei Vektoren gleichzeitig erfüllt sein sollen. Interpretiere die geometrische Bedeutung dieser Gleichungen und zeichne Repräsentanten der Vektoren, die diese Bedingungen alle erfüllen, ins Koordinatensystem. Ein Video aus der neuen "MST-Reihe" - momentan noch ein Extra für Level 2-Kanalmitglieder... | Skript zum Download | auf  teilen