Ganzrationale Funktionen



Was sind ganzrationale Funktionen?

 m13v0395  In diesem Einstiegsvideo wird erklärt, was ganzrationale Funktionen - auch Polynomfunktionen genannt - sind. Zuerst werden an einigen Beispielen die wesentlichen Merkmale von ganzrationalen Funktionen erklärt. Dabei wird ebenfalls erläutert, was man unter Koeffizienten und dem Grad einer ganzrationalen Funktion versteht. Nach den Beispielen wirst du dann sicherlich auch die allgemeine Definition für ganzrationale Funktionen verstehen. | auf  teilen



Ganzrationale Funktion - ja oder nein? (Übung)

 m13v0397  Nachdem du im vorigen Video gelernt hast, was ganzrationale Funktionen sind, sollst du in diesem Übungsvideo entscheiden, ob eine gegebene Funktion eine ganzrationale Funktion ist oder nicht. Du wirst sehen, dass es knifflige Fälle gibt. Lass dich nicht hinters Licht führen... | Skript zum Download | auf  teilen



Globalverhalten, Verhalten nahe Null



Am Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion in der allgemeinen Form kann man schon durch bloßes Hingucken wichtige Eigenschaften ablesen: Zum einen ist dies das Globalverhalten - dies ist der Verhalten des Graphen in den "Außenbereichen", dort wo x gegen plus bzw. minus unendlich geht - und das Verhalten des Graphen in der Nähe der y-Achse. Die nächsten Videos zeigen, wie es geht...



Ganzrationale Funktionen: Globalverhalten (x gegen plus/minus unendlich)

 m13v0102  In diesem Video erfährst du, wie man bei ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) sehr einfach den Verlauf des Graphen bei x gegen plus oder minus unendlich herausfinden kann.  | auf  teilen



Grad, Leitkoeffizient und Verhalten für x gegen plus/minus unendlich bestimmen (Übung)

 m13v0622  Wenn man eine ganzrationale Funktion hinsichtlich ihres Verhaltens für x→±∞ untersucht, muss man den Grad der Funktion und den Leitkoeffizienten betrachten. Dies ist eine Übung, bei der - neben den einfachen Fällen - auch ganzrationale Funktionen, die in faktorisierter Form gegeben sind, untersucht werden sollen. Eine klassische Klausuraufgabe. | Skript zum Download | auf  teilen



Verhalten für x nahe null

 m13v0252  In diesem Video erfährst du, wie man bei ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) den Verlauf des Graphen in der Nähe der y-Achse, also für x-Werte nahe null, herausfinden kann.  | auf  teilen



Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion durch Hingucken bestimmen (Übung)

 m13v0403  In dieser Übung sollst du das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion bestimmen - und zwar nur durch Hingucken. Die Funktion ist dabei aber nicht immer in der "schönen" Summandenform angegeben, sondern als Produkt. Dennoch ist das eine einfache Aufgabe, da das Verhalten des Graphen für x gegen plus/minus unendlich ja nur vom Summanden mit der höchsten Potenz von x und dessen Koeffizienten abhängt. Dieser Summand kann aber ohne große Rechnung schnell ermittelt werden, auch wenn das Polynom in faktorisierter Form angegeben ist... | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Symmetrieverhalten ganzrationaler Funktionen



Symmetrie einer ganzrationalen Funktion zu einem Punkt nachweisen (Übung)

 m13v0394  In diesen Übungsaufgaben sollst du die Punktsymmetrie eines Graphen einer ganzrationalen Funktion zu einem gegebenen Punkt nachweisen. Ein Lösungsansatz dabei ist, dass man sich überlegt, wie man den Graphen verschieben müsste, damit die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung wäre. Teil 2 mit einer verwandten Aufgaben hat die Aufruf-ID: m13v0393. | Skript zum Download | auf  teilen



Symmetrie einer ganzrationalen Funktion zu einer senkrechten Gerade nachweisen (Übung)

 m13v0393  In dieser Übung sollst die Achsensymmetrie eines Graphen einer ganzrationalen Funktion zu einer gegebenen senkrechten Geraden nachwiesen werden. Auch hier ist das Grundprinzip, dass man sich überlegt, wie man den Graphen verschieben müsste, damit die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse wäre. Siehe auch Teil 1 mit der Aufruf-ID: m13v0394. | Skript zum Download | auf  teilen



Nullstellenbestimmung bei ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 und höher



Lineare und quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 1 bzw. Grad 2. Bei diesen Funktionstypen konnten die Nullstellen noch recht einfach bestimmt werden. Ab Grad 3 kann die Nullstellenbestimmung jedoch schwieriger werden und es gibt sogar den Fall, dass die Nullstellen gar nicht mehr explizit berechnet werden können. Man kann sagen: Die Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktion vom Grad 3 oder höher ist schwierig, es sei denn man hat einfache Fälle gegeben. Die gute Nachricht ist, dass man es in der Schulmathematik in der Regel mit den einfachen Fällen zu tun hat. Die nachfolgenden Videos zeigen, welche Methoden für die einfachen Fälle zur Verfügung stehen...



Methoden der Nullstellenbestimmung bei ganzrationalen Funktionen (Übersicht)

 m13v0103  Dieses Video gibt eine allgemeine Übersicht über die verschiedenen Methoden der Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 und höher.  | auf  teilen



Nullstellenbestimmung durch Ausklammern und Faktorisieren

 m13v0169  Wenn eine ganzrationale Funktion in faktorisierter Form angegeben ist oder sich durch Ausklammern der Variablen leicht faktorisieren läßt, dann ist die Nullstellenberechung sehr einfach durchzuführen. In diesem Video wird gezeigt, was die faktorisierte Form so attraktiv macht.  | auf  teilen



Biquadratische Gleichungen: Nullstellenbestimmung durch Substitution

 m13v0105  In diesem Video wird gezeigt, wie man sogenannte biquadratische Gleichungen löst bzw. die Nullstellen von biquadratischen Gleichungen bestimmt. Dies ist eine von mehreren Methoden zur Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 und höher. Die anderen Videos dieser Serie sind unten gelistet.  | auf  teilen



Nullstellenbestimmung durch Polynomdivision

 m13v0170  In diesem Video wird gezeigt, wie man mit Hilfe der Polynomdivision eine ganzrationale Funktion faktorisiert. Dies ist eine wichtige Methode zur Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen (Polynomen) vom Grad 3 und höher. Durch die Faktorisierung zerlegt man das Ausgangspolynom in einfachere Polynom-Faktoren niedrigeren Grades, deren Nullstellen dann einfacher bestimmt werden können. | auf  teilen



Nullstellenbestimmung durch Polynomdivision - weitere Beispiele

 m13v0104  Dies ist ein Ergänzungsvideo zum Grundlagenvideo zur Polynomdivision. Hier werden weitere Beispiele vorgemacht und es wird erklärt, worauf man beim Durchführen einer Polynomdivision zu achten hat, wenn das Polynom nicht alle Potenzen von x in absteigender Reihe enthält.  | auf  teilen



Ganzrationale Funktion untersuchen (klausurtypische Aufgabe)

 m13v0656  Dies ist eine klausurtypische Aufgabe zur Untersuchung einer ganzrationalen Funktion, die verschiedene Grundkompetenzen abdeckt, wie z.B. (a.) Umwandeln der faktorisierten Funktion in die allgemeine Form, (b.) Untersuchung des Verhaltens für x→±∞, (c.) Untersuchung der Symmetrie des Grpahen, (d.) Nullstellenbestimmung und (e.) Anfertigen einer Skizze. | Skript zum Download | auf  teilen



Übung: Dafür sorgen, dass Polynom ohne Rest aufgeht

 m13v0592  Bei dieser Übung, soll ein Parameter in einer Polynomfunktion so bestimmt werden, dass die Polynomdivision durch einen gegebenen Linearfaktor ohne Rest aufgeht. | Skript zum Download | auf  teilen



Linearfaktoren einer ganzrationalen Funktion - eine Steckbriefaufgabe

 m13v0660  Dies ist eine Art Steckbriefaufgabe: Von einem Polynom sind zwei Linearfaktoren bekannt und du sollst die fehlenden Koeffizienten in der Funktionsgleichung ermitteln... | Skript zum Download | auf  teilen



Nullstellen gezielt erraten

 m13v0171  Damit man eine Polynomdivision durchführen kann, muss eine Nullstelle des Polynoms bekannt sein. Wenn diese nicht angegeben ist, muss man eine Nullstelle "durch Raten" finden. In diesem Video wird gezeigt, wie man *gezielt* Nullstellen-Kandidaten für ganzrationaler Funktionen finden kann.  | auf  teilen



Gleichung einer Polynomfunktion bestimmen über Vielfachheit der Nullstellen und gegebenen Punkt
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Mittels Polynomdivision prüfen, ob ganzrationale Funktion eine mehrfache Nullstelle hat | Linearfaktorzerlegung

 m13v0582  Es soll ja vorkommen, dass eine ganzrationale Funktion an einer Stelle - nennen wir sie x0 - mehrfache Nullstellen haben kann. Die Berechnung von f(x0) liefert natürlich null als Ergebnis, doch ist es eine einfache oder mehrfache Nullstelle? In diesem Video erfährst du, wie du dies mit Hilfe der Polynomdivision untersuchen kannst. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen