Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen spielen eine sehr wichtige Rolle bei der Modellierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Wenn sich ein Bakterium immerzu teilt und aus einem Bakterium werden 2, dann 4, dann 8, dann 16 usw., dann ist dies ein Beispiel für exponentielles Wachstum. Beim Zerfall einer radioaktiven Substanz hat man es hingegen mit exponentieller Abnahme bzw. Zerfall zu tun.
Zunächst wirst du Funktionen vom Typ f(x)=c·ax kennenlernen. Später werden wir und dann mit einer besonderen Exponentialfunktion, der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=ex beschäftigen.



Unterschied Lineare Funktion Exponentialfunktion

 m13v0420  Früher haben wir ja schon lineare Funktionen zur Beschreibung von Zunahme- bzw. Abnahmeprozessen kennengelernt. In diesem Kapitel lernst du zusätzlich exponentielle Zunahme und Abnahme kennen. In diesem Video werden die grundlegenden Unterschiede herausgearbeitet. | auf  teilen



Linearer oder exponentieller Verlauf; Textaufgabe in Funktionsgleichung

 m13v0415  Aufbauend auf das vorige Video m13v0420 kannst du mit Hilfe dieser Übung überprüfen, ob du den Unterschied zwischen linearem bzw. exponentiellen Wachstum/Abnahme verstanden hast. Es werden Wachstums-/Abnahmeprozesse beschrieben, denen der Typus linear bzw. exponentiell zugeordnet werden soll. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Exponentialgleichung vom Typ f(x)=c·ax

 m13v0172  Eine Exponentialfunktion vom Typ f(x)=c·ax ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. In diesem Video wird gezeigt, wie man aus den Koordinaten zweier Graphenpunkte die zugehörige Funktionsgleichung ermitteln kann.  | auf  teilen



Exponentialfunktion aus zwei Punkten aufstellen (eine schnellere Methode)

 m13v0448  Nachfolgend zum Video m13v0172 soll hier eine weitere Methode zur Bestimmung einer Exponentialfunktion vom Typ f(x)=c·ax vorgestellt werden. | auf  teilen



MST_Eigenschaften von Exponentialfunktionen

 m13v0599  Bei diesem Video aus der Serie "Mathematisches Schnellkrafttraining" geht es darum, Aussagen über den Verlauf des Graphen einer Exponentialfunktion anhand der im Funktionsterm vorkommenden Parameter zu machen. | Arbeitsblatt zum DownloadMusterlösung auf Patreon | auf  teilen



Eigenschaften von Exponentialfunktionen (Aufgabe so ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0364  In diesem Übungsvideo werden die Exponentialfunktionen des Typs f(x)=k·wx betrachtet. Hier soll man jetzt den Graphenverlauf skizzieren in Abhängigkeit der Werte von k und w. So eine ähnliche Aufgabe kam in Österreich in der Matura-Klausur vor. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Da die Funktionsgleichung f(x)=c·ax vier Größen enthält, gibt es vier Aufgabentypen, bei denen jeweils drei der Größen bekannt sind und man die vierte bestimmen soll.

  • Funktionswert f(x) an gegebener x bestimmen
  • Startwert bzw. Anfangsbestand c bestimmen
  • Wachstums-/Zerfallsfaktor a bestimmen
  • Exponent x bestimmen. Häufig ist dies die Zeit, weshalb die Variable dann oft mit t benannt ist.
Die nachfolgenden Videos behandeln diese grundlegenden Aufgabentypen.



Zinseszins und Kapitalwachstum: Anfangskapital, Zinssatz, Anlagedauer, Endkapital berechnen

 m13v0216  Typische Aufgaben zum Thema Kapitalwachstum und Zinseszins - Wie man Anfangskapital, Endkapital, Zinssatz und Anlagedauer berechnet.  | auf  teilen



exponentielle Abnahme: Anfangswert, Verlustrate, Dauer, Endwert berechnen

 m13v0217  Zweites Übungsvideo zum exponentiellen Wachstum und Zerfall - diesmal geht es um Abnahme- und Zerfallsprozesse. Bestimme die fehlenden Werte (Anfangswert, Endwert, Verlustrate, Dauer).  | auf  teilen



Exponentialfunktion aufstellen und Einheit der Variablen umwandeln für Minute, Stunde, Tage

 m13v0445  In diesem Video wird gezeigt, wie man eine Exponentialgleichung so anpasst, dass man die Variable in anderen Einheiten verwenden kann. Hat man z.B. eine Exponentialfunktion für die stündliche Abnahme eines Bestands gegeben, so kann man die Funktion abwandeln, so dass man anstatt Stunden auch Minuten oder Tage als Zeiteinheit verwenden kann. | auf  teilen



Verschiedene Aufgabentypen Exponentialfunktionen - klausurtypische Aufgaben

 m13v0710  Dies ist eine klausurtypische Aufgabe, bei denen verschiedene Kompetenzen zu Exponentialfunktionen abgefragt werden: Berechnung der Halbwertszeit; Berechnung des Zerfallsfaktors und Bestimmung des Bestands zu einem bestimmten Zeitpunkt. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Exponentialfunktion in ein Format mit der Basis e umwandeln

 m13v0693  Bei dieser Übung sollst du eine Exponentialfunktion, die in der Form f(t)=a·bt gegeben ist, in das e-Funktion-Format f(t)=a·ekt umwandeln. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Transformation von Exponentialfunktionen

 m13v0425  In diesem Übungsvideo geht es um die Transformation von Graphen von Exponentialfunktionen. In der einen Aufgabe sollst du zeigen, dass es zwei unterschiedliche Wege der Transformation (Verschieben bzw. Stauchen/Strecken) gibt, die zum selben Ergebnis führen. In der zweiten Aufgabe sollst du die einzelnen Schritte der Transformationen angeben, mit der man von einer Exponentialfunktion zu einer anderen Exponentialfunktion gelangt. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Exponentialfunktionen zuordnen und zeichnen

 m13v0706  Eine klausurtypische Aufgabe, bei der du Funktionsgraphen den richtigen Funktionstermen zuordnen sollst. Außerdem sollst du den Graphen einer Gleichung ins Koordinatensystem einzeichnen. | Arbeitsblatt zum DownloadMusterlösung auf Patreon | auf  teilen



Exponentialfunktionen: Vom Graphen zur Funktionsgleichung (die beste Methode)

 m13v0707  Bei dieser Übungsaufgabe sind Graphen von Exponentialfunktionen gegeben, und du sollst dazu die entsprechenden Funktionsgleichungen im Format y=c·ax+d angeben. Diese Aufgabe ist nicht ganz einfach, aber im Video wird eine zuverlässige Methode erklärt, mit der das Aufstellen der Funktionsgleichung schnell gelingt. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Exponentialfunktionen aufstellen und Graph zeichnen mittels Angaben

 m13v0708  Bei diesen Aufgaben sollst du die Funktionsterme für Exponentialfunktionen des Typs f(x)=c∙ax aufstellen; verfügbar sind Angaben zur Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit, Anfangsbestand und bekannter Graphenpunkte. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Transformierte e-Funktionen den richtigen Graphen zuordnen | MST-Serie

 m13v0686  Wie gut kennst du dich mit Transformationsoperationen von Funktionen aus? Bei dieser Übungsaufgabe sollst du passende Paare von Funktionsterm und Funktionsgraph einander zuordnen. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Transformation einer e-Funktion: Funktionsgleichungen für Zwischenschritte finden (Übung)

 m13v0621  Eine Übung zur schrittweisen Transformation einer Ausgangsfunktion zu einer Zielfunktion. Die Schritte sind beschrieben, und du sollst die Gleichungen der Zwischenschritt-Gleichungen angeben. Für den letzten Schritt, sollst du die auch die Transformation beschreiben. | Arbeitsblatt zum DownloadMusterlösung auf Patreon | auf  teilen



Transformation der e-Funktion: Benenne geeignete Transformationsschritte

 m13v0659  Bei dieser Übungsaufgabe sollst du eine geeignete Reihenfolge von Transformationsschritten aufstellen, mit denen sich die Ausgangsfunktion f(x)=ex in die angegebene Zielfunktion überführen lässt. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Transformation der e-Funktion: Vergleich zweier Transformationssequenzen

 m13v0672  In dieser Übungsaufgabe soll der Frage nachgegangen werden, ob man die Reihenfolge der Transformationen verändern kann und dennoch zur selben Zielfunktion gelangt... | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Die natürliche Exponentialfunktion

Bislang haben wir Exponentialfunktionen des Typs f(x)=c·ax betrachtet. Dabei war die Basis a eine positive Zahl, die für a > 1 exponentielles Wachstum und für 0 < a < 1 exponentiellen Zerfall beschreibt. Im Folgenden werden wir Exponentialfunktionen mit einer besonderen Basis betrachten. Diese Basis ist die Eulersche Zahl e. e ist eine irrationale Zahl (e ? 2,718). Was Exponentialfunktionen zur Basis e so besonders macht, und warum man mit den sogenannten e-Funktionen komfortabel rechnen kann, erfährst du in den folgenden Videos...



Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung. Herleitung der Eulerschen Zahl e.

 m13v0447  In diesem Video wird eine besondere Exponentialfunktion behandelt - die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e. e ist die Eulersche Zahl, näherungsweise 2,718. Hier wird gezeigt, dass es eine Exponentialfunktion gibt, deren Ableitungsfunktion mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt: f(x)=e^x. Außerdem wird gezeigt, wie man einen Näherungswert für die Eulersche Zahl e ermitteln kann. Zur Herleitung von e benutzt man die Differentialquotienten-Definition der Ableitung. | auf  teilen



Handelt es sich um exponentielle Zunahme oder Abnahme?

 m13v0667  Bei dieser Aufgabe sollst du am Funktionsterm erkennen, ob der Graph der Funktion eine exponentielle Zunahme oder Abnahme darstellt. Bei einigen Funktionstermen kommt in der Basis auch die Eulersche Zahl e vor. | Arbeitsblatt zum Download | auf  teilen



Grenzverhalten von e-Funktionen

 m13v0452  Den Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=ex sollte man kennen − äh, den muss man kennen!. Aber wie wird der Verlauf des Graphen durch den Exponenten beeinflusst, also wenn man es mit einer Funktion f(x)=eg(x) zu tun hat, wobei g(x) eine mehr oder weniger komplizierte Funktion sein kann − zum Beispiel eine ganzrationale Funktion?! In diesem Video wird es erklärt. Soviel sei verraten: Was immer auch passiert, es passiert oberhalb der x-Achse... | auf  teilen