Lineare Gleichungssysteme II



In der Mittelstufe hattest du schon mit Linearen Gleichungssystemen zu tun. Diese hatten damals in der Regel nur zwei Unbekannte und wurden mit dem Einsetzungsverfahren, dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren gelöst.
Weil Lineare Gleichungssysteme wesentliche Werkzeuge der Linearen Algebra und der Analytischen Geometrie sind, kommen wir jetzt noch einmal auf diese zurück. Diesmal werden auch LGS mit mehr als zwei Unbekannten behandelt. Zunächst lernst du das Gauß-Verfahren (welches auf dem Additionsverfahren beruht) zum systematischen Lösen von LGS kennen, bei dem man das LGS Schritt für Schritt in die sogenannte Stufenform (oder Dreiecksform) überführt. Du wirst erfahren, wie man die Art der Lösungsmenge eines LGS nach Überführung in die Stufenform erkennt und wirst lernen, wie man die Lösungsmenge eines LGS angibt, das unendlich viele Lösungen hat.



LGS: (1.) Das Gauß-Verfahren

 m13v0232  In diesem Video lernst du, wie man ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit Hilfe des Gauß-Verfahrens löst. Hierbei lernst du im einzelnen: - welche Rechenoperationen beim Lösen von linearen Gleichungssystemen erlaubt sind - wie man ein LGS schrittweise auf die Stufenform (Dreiecksform) bringt - wie man ein auf die Stufenform gebrachtes LGS rückwärts/von unten nach oben löst  | auf  teilen



LGS: (2.) LGS übersichtlich lösen mit der erweiterten Koeffizientenschreibweise

 m13v0233  In diesem Video lernst eine Schreibweise kennen, mit der man lineare Gleichungssysteme (LGS) übersichtlich und schnell lösen kann - die erweiterte Koeffizientenmatrix. Die Schreibweise der erweiterten Koeffizientenmatrix ist nicht nur vorteilhaft beim "von Hand"-Lösen von LGS, sondern sie wird auch für die Eingabe von LGS in den Taschenrechner verwendet.  | auf  teilen



LGS: (3.) Lösbarkeit von LGS - eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen

 m13v0234  Nachdem man das LGS mit dem Gauß-Verfahren auf die Stufenform gebracht hat, kann man an der letzten Zeile des LGS erkennen, welche Art von Lösungsmenge (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) das LGS hat. Das Video zeigt, wie es geht... | auf  teilen



LGS: (4.) Wie man die Lösungsmenge bei unendlichen Lösungen angibt

 m13v0251  In diesem Video lernst du, wie man bei einem linearen Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen hat, die Lösungsmenge angeben kann.  | auf  teilen



Das Gauß-Jordan-Verfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen

 m13v0479  In diesem Video wird ein Algorithmus zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen vorgestellt, der im Prinzip wie der Gauß-Algorithmus funktioniert, aber so lange durchlaufen wird, bis die Koeffizientenmatrix am Ende nur noch Einsen auf der Hauptdiagonale enthält. Dies ist das sogenannte Gauß-Jordan-Verfahren − eine Methode, die man kennen sollte, weil sie z.B. der manuellen Berechnung von Inversen Matrizen benötigt wird.  | auf  teilen



LGS mit vorgegebener Lösung aufstellen

 m13v0411  In diesem Übungsvideo sollst du ein Lineares Gleichungssystem (LGS) konstruieren, welches eine vorgegebene Lösungsmenge hat. Im Video wird die "Gauß-Verfahren-Rückwärts"-Methode verwendet. | Skript zum Download | auf  teilen



Ein LGS aufstellen, das (0,0,0) als Lösung bzw. keine Lösung hat.

 m13v0412  Ein weiteres Übungsvideo, bei dem du Lineare Gleichungssysteme konstruieren sollst, die eine vorgegebene Lösungsmenge haben. Diesmal soll ein LGS aufgestellt werden, dass die Lösungsmenge (0,0,0) hat und eines, dass keine Lösung hat. | Skript zum Download | auf  teilen

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Übung 1: LGS mit Parameter lösen

 m13v0265  In diesem Übungsvideo geht es um das Lösen eines Linearen Gleichungssystems (LGS), das neben den Variablen auf der Ergebnisseite auch einen Parameter r enthält. Es soll die Lösungsmenge in Abhängigkeit von r bestimmt werden. | Skript zum Download | auf  teilen



Übung 2: LGS mit Parameter lösen

 m13v0266  Dies ist das zweite Übungsvideo zum Lösen eines Linearen Gleichungssystems (LGS) mit Parameter. Hier wird sich ergeben, dass vom Parameter abhängt, ob das LGS unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat. | Skript zum Download | auf  teilen



LGS mit Parameter lösen (mit Fallunterscheidung)

 m13v0430  Ein drittes Übungsvideo zum Lösen eines Linearen Gleichungssystems (LGS) mit Parameter. Diese Aufgabe ist etwas schwieriger, denn hier muss man eine Fallunterscheidung machen. Auch hier hängt es vom Parameterwert ab, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat. | Skript zum Download | auf  teilen



LGS mit unendlich vielen Lösungen - unterschiedliche Darstellungsmöglichkeiten der Lösung

 m13v0423  Zwei Schüler haben dasselbe LGS gelöst, dabei heraus bekommen, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat. Beide haben eine jeweils eine Lösungsmenge, die allerdings unterschiedlich aussieht. Du sollst nun nachweisen, dass das beide Darstellungsmöglichkeiten für das gegebenen LGS richtig sind. | Skript zum Download | auf  teilen



Lösungsmenge eines LGS in Abhängigkeit eines Parameters (so ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0480  Bei dieser Aufgabe sollst du untersuchen, welchen Einfluss ein Koeffizientenparameter auf die Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems hat. Eine ähnliche Aufgabe wurde im hilfsmittelfreien Teil im Abitur des Landes NRW im Jahr 2017 gestellt. | Skript zum Download | auf  teilen

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