Geraden - Vektorielle Darstellung



Nachdem du die Vektoraddition, die S-Multiplikation und die Linearkombination von Vektoren kennengelernt hast, bist du jetzt bereit für die erste Anwendung der Vektorrechnung, nämlich die vektorielle Beschreibung von Geraden, die durch den Raum gehen.



Gerade (in Parameterform) aus zwei Punkten

 m13v0046  In diesem Video wird ein ganz wichtiger Grundaufgabentyp der Vektorrechnung erklärt: das Aufstellen einer Geradengleichung, wenn zwei Punkte gegeben sind.  | auf  teilen



Liegt ein Punkt auf der Geraden? - Punktprobe

 m13v0047  Die Punktprobe gehört zu den typischen Aufgaben: hierbei wir untersucht, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt.  | auf  teilen



Liegt ein Punkt auf der Geraden? | Liegen drei Punkte auf einer Geraden? - Mit der Vektorvergleichsmethode

 m13v0539  In diesem Video wird eine andere Methode gezeigt, wie man an die Aufgabenstellungen "Liegt ein Punkt auf einer gegebenen Geraden?" oder "Liegen drei Punkte auf einer Geraden?" herangehen kann - die Vektorvergleichsmethode. Beim klassischen Lösungsansatz führte man ja eine Punktprobe über eine Vektorgleichung durch. Bei der Vektorvergleichsmethode vergleicht man zwei ausgewählte Vektoren, ob sie kollinear sind. Wie das geht, wird im Video gezeigt. | auf  teilen



Gerade ins dreidimensionale Koordinatensystem eintragen; Punkte bestimmen; Punktprobe

 m13v0388  Bei dieser Aufgabe soll eine Gerade und Geradenpunkte ins dreidimensionale Koordinatensystem eingezeichnet werden. Interessant wird es, wenn ein weiterer Punkt ins Koordinatensystem eingezeichnet wird, der aber nur scheinbar auch auf der Geraden liegt. Kannst du erklären was hier los ist? | Skript zum Download | auf  teilen



Vektorielle Darstellung von Geraden (Aufgabe 1-3)

 m13v0056  In dieser zweiteiligen Videoserie kannst du dein Wissen über die vektorielle Darstellung von Geraden im Raum testen. Hier geht es (1.) um das Aufstellen einer Gleichung, wenn Punkt und Richtung gegeben sind; (2.) der Bestimmung von Punkten, die auf einer Geraden liegen, und (3.) um alternative Darstellungen ein und derselben Geraden. | Skript zum Download | auf  teilen



Vektorielle Darstellung von Geraden (Aufgabe 4-5d)

 m13v0057  In diesem zweiten Wissens-Check-Video zum Thema Geraden geht es um Geraden mit besonderer Lage und Konstruktionsaufgaben. | Skript zum Download | auf  teilen



Parametergleichung von Geraden: Schnittpunkt oder nicht durch Hingucken erkennen

 m13v0461  Bei dieser Aufgabe hast du zwei Geradengleichungen in Parameterform gegeben und du sollst ohne Rechnung erkennen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben, und wenn ja, welchen. Dabei sollst du dein Wissen anwenden, mit dem du die gegenseitige Lage von Geraden untersuchst. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Geraden im Raum - besondere Lage an Vektorgleichung durch Hingucken erkennen | MST-Serie

 m13v0644  Eine Gerade mit besonderer Lage im Raum lässt sich am Stütz- und Richtungsvektor auch ohne Rechnung, nur durch "einfaches Hingucken" erkennen. In diesem Video gibt es fünf Beispiele solcher Geraden - erkennst du die besondere Lage im Koordinatensystem? | Skript zum Download | auf  teilen



Geraden mit besonderer Lage formulieren

 m13v0515  Mit dieser Übung kannst du überprüfen, ob du verstanden hast, welche besonderen Features Geraden mit besonderer Lage im Koordinatensystem haben. Besondere Lagen sind hier Parallelität zu Koordinatenachsen und Koordinatenebenen oder ob sie Ursprungsgeraden sind. Du sollst jeweils zwei verschiedene Gleichungen für Geraden aufstellen, die eine vorgegebene besondere Lage haben. | Skript zum Download | auf  teilen



Spurpunkte von Geraden berechnen

 m13v0048  In diesem Video erfährst du, wie man die Spurpunkte einer Geraden (das sind die Schnittpunkte der Geraden mit den drei Koordinatenebenen) berechnet. | auf  teilen



Geraden anhand ihrer Spurpunkte ins Koordinatensystem zeichnen

 m13v0639  Den Verlauf einer Geraden im Raum kann man sehr gut anhand der Spurpunkte darstellen. Bei dieser Aufgabe sollst du genau dies machen - aber Achtung, es werden interessante Fälle behandelt und bei einer Geraden kann man keine Spurpunkte einzeichnen. Es lohnt sich auf jeden Fall, alle vier Aufgaben zu bearbeiten... | Skript zum Download | auf  teilen



Geraden und ihre Spurpunkte: Berechnen und besondere Lage erkennen

 m13v0624  Eine Gerade im Raum kann 1 bis 3 Spurpunkte haben - wie viele Spurpunkte es gibt, hängt von der (besonderen) Lage der Gerade ab. Bei dieser Aufgabe hast du jetzt zwei Spurpunkte gegeben, und du sollst zunächst begründet und ohne Rechnung entscheiden, ob es einen dritten Spurpunkt gibt. Hier musst du also wissen, wie man anhand zweier Geradenpunkte erkennt, ob die Gerade eine besondere Lage hat... | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Richtungsvektor einer Gerade anpassen für besondere Lage im Koordinatensystem | MST-Serie
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 m13v0684  Dies ist eine Aufgabe aus der Reihe "Mathematisches Schnellkrafttraining": Bei dieser Aufgabe geht es darum, durch einen geeigneten Richtungsvektor eine besondere Lage einer Geraden im Koordinatensystem zu erzeugen.



Geradengleichungen umwandeln: Hauptform, Koordinatenform und Parameterform (für Geraden im R2)

 m13v0387  Aus der Mittelstufe kennst du die klassische Hauptform der Geradengleichung y=mx+b. Doch mittlerweile kennst du neben der Koordinatenform auch die vektorielle Parameterdarstellung. In diesem Video soll die Umwandlung zwischen "klassischer" Hauptform, Koordinatenform und Parameterform geübt werden. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Gerade, Punkt auf Gerade, Teilungsverhältnis (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0376  Bei diesem Übungsvideo geht es um das Aufstellen einer Geradengleichung, das Durchführen einer Punktprobe und die Zerlegung einer Strecke entsprechend eines bestimmten Teilungsverhältnisses. Dieses Video ist aus der Reihe "So ähnlich im Abi gesehen". Eine ähnliche Aufgabe kam im Abitur in Bayern im Jahr 2017 im hilfsmittelfreien Teil dran. | Skript zum Download | auf  teilen



Gegenseitige Lage von Geraden



Da ein und dieselbe Gerade durch unendlich viele Geradengleichungen beschrieben werden kann, kann man zwei Gleichungen nicht sofort ansehen, ob diese Gleichungen vektorielle Beschreibungen verschiedener oder der identischen Gleichung sind. Außerdem können Geraden im Raum vier Arten der gegenseitigen Lage aufweisen: sie können (1.) identisch, (2.) parallel, (3.) windschief sein, oder sie können sich (4.) in einem Schnittpunkt schneiden. Die Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden ist ein wichtiger und immer wieder prüfungsrelevanter Grundaufgabentyp. Die nachfolgenden Videos, zeigt man wie man vorgeht.



Gegenseitige Lage von Geraden (Methode 1)

 m13v0049  Einführungsvideo zur Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier Geraden im Raum. | auf  teilen



Gegenseitige Lage von Geraden - Bsp. identische Geraden

 m13v0051  In diesem Video wird gezeigt, wie man nachweist, dass zwei Geraden identisch sind.  | auf  teilen



Gegenseitige Lage von Geraden - Bsp. parallele Geraden

 m13v0052  In diesem Video wird gezeigt, wie man nachweist, dass zwei Gereaden (echt) parallel sind. | auf  teilen



Gegenseitige Lage von Geraden - Bsp. sich schneidende Geraden

 m13v0053  In diesem Video wird gezeigt, wie man nachweist, dass sich zwei Geraden schneiden und wie man den Schnittpunkt bestimmt. | auf  teilen



Gegenseitige Lage von Geraden - Bsp. windschiefe Geraden

 m13v0054  In diesem Video wird gezeigt, wie man nachweist, dass zwei Geraden windschief zueinander verlaufen. | auf  teilen



Gegenseitige Lage von Geraden (Methode 2)

 m13v0140  In dem ersten Video und den 4 Beispielvideos wurde ein systematisches, zweistufiges Verfahren zur Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier Geraden ausführlich vorgemacht. Dabei wurde im ersten Schritt durch Betrachtung der Richtungsvektoren eine Vorauswahl in zwei Gruppen (identisch, parallel) oder (schneidend, windschief) durchgeführt und im nächsten Schritt zwischen den beiden verbleibenden Möglichkeiten unterschieden. Man kann jedoch auch einen anderen Weg einschlagen. Hierzu werden die beiden Geradengleichungen im ersten Schritt gleichgesetzt und das zugehörige Lineare Gleichungssystem gelöst. Dann gibt es drei Möglichkeiten: 1. das LGS hat genau eine Lösung. Dann schneiden sich die Geraden in einem Punkt 2. das LGS hat unendlich viele Lösungen. Dann sich die beiden Geraden identisch 3. das LGS hat keine Lösung. In diesem Fall verlaufen die Geraden parallel oder windschief zueinander (und haben so keinen gemeinsamen Punkt).  | auf  teilen



Zeigen, dass sich zwei Geraden schneiden und Schnittpunkt bestimmen
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 m13v0676  Hier sollst du nachweisen, dass sich zwei Geraden schneiden, und der Schnittpunkt soll bestimmt werden. Das Besondere bei dieser Aufgabe ist, dass in den Geradengleichungen keine konkreten Vektoren vorkommen, sondern dass du mit „allgemeine Vektoren“ rechnen musst…



Geradenscharen

Wie der Name schon sagt, kommt in der Parametergleichung einer Geraden ein Parameter vor. Wenn aber innerhalb des Stütz- und/oder Richtungsvektors ein weiterer Parameter vorkommt, dann erhält man eine Geradenschar. In den folgenden Videos geht es um typische Aufgaben zu Geradenscharen.



Übung: Gerade und Geradenschar: Gegenseitige Lage, Schnittpunkte

 m13v0269  In dieser Übungsaufgabe wird eine Geradenschar bezüglich mehrerer ihrer Eigenschaften in Abhängigkeit des Scharparmeters untersucht. | Skript zum Download | auf  teilen



Gegenseitige Lage von Geraden - Übung: parallele Geraden erzeugen

 m13v0264  In dieser Übungsaufgabe sollen Geradengleichungen so verändert werden, dass die Geraden parallel zueinander liegen. Hierbei kannst du deine Kenntnisse zur gegenseitigen Lage von Geraden prüfen. | Skript zum Download | auf  teilen



Gegenseitige Lage von Geraden: Geradengleichung so bestimmen, dass Geraden sich schneiden

 m13v0268  In dieser Aufgaben hat man zwei Geradenscharen gegeben, und man soll den Scharparameter so bestimmen, dass die Geraden sich schneiden. | Skript zum Download | auf  teilen



Übung zu Geradenscharen

 m13v0426  Ein weiteres Übungsvideo zu Geradenscharen. Hier geht es darum, die Gleichung einer Geradenschar aufzustellen und zu prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer der Geraden der Schar liegt, und falls ja, diese Gerade zu identifizieren. | Skript zum Download | auf  teilen



Geraden, Spurpunkte, Schnittpunkte (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0373  In diesem Übungsvideo geht es um die Bestimmung der Schnittpunkte einer Gerade mit einer Koordinatenebene (Spurpunkt) bzw. einer Koordinatenachse. Da die vektorielle Gleichung der Geraden in diesem Fall einen zusätzlichen Parameter im Stützvektor enthält, hängt die Ermittlung der gesuchten Schnittpunkte von diesem Parameter ab. Dies macht das Problem natürlich ein bisschen anspruchsvoller... Dies ist ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen"; eine ähnliche Aufgabe wurde im Abi des Landes Bayern im Jahr 2018 gestellt. | Skript zum Download | auf  teilen