Differentialrechnung II



Weitere Ableitungsregeln



In der Einführungsphase hast du die grundlegenden Ableitungsregeln kennengelernt, die du bei Funktionen anwenden kannst, die in Potenzschreibweise geschrieben werden können. Im Folgenden lernst du weitere Ableitungsregeln kennen, mit denen zusammengesetzte Funktionen abgeleitet werden können (verkettete Funktionen, Produkte und Quotienten von Funktionen). Außerdem wirst du die besondere Eigenschaft der e-Funktion beim Ableiten kennenlernen.



Bevor wir über die Kettenregel als weitere wichtige Ableitungsregel sprechen können, müssen wir uns vorher noch klar machen, was verkettete Funktionen eigentlich sind. Dies wird in den nachfolgenden Videos behandelt.



Ableitungsregeln (2): Kettenregel

 m13v0031  In diesem Video wird die Kettenregel zum Ableiten von verketteten Funktionen ausführlich erklärt. | auf  teilen



Ableitungsregeln (3): Produktregel

 m13v0032  In diesem Video wird die Produktregel zum Ableiten ausführlich erklärt. Die Produktregel kommt zum Einsatz, wenn man sich die abzuleitende Funktion als Produkt zweier Funktionen vorstellen kann: f(x) = u(x)·v(x) | auf  teilen



Ableitungsregeln (4): Quotientenregel

 m13v0033  In diesem Video wird die Quotientenregel zum Ableiten ausführlich erklärt. Die Quotientenregel kommt zum Einsatz, wenn man sich die abzuleitende Funktion als Quotient zweier Funktionen vorstellen kann: f(x) = u(x)/v(x) | auf  teilen



Ableiten wie im Abi (I)

 m13v0428  Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen…", diesmal zur Ableitung von etwas komplexeren Funktionen. Diese enthalten trigonometrische Funktionen. Ähnliche Aufgaben wurden im Abi des Landes Baden-Württemberg im hilfsmittelfreien Teil gestellt. | Skript zum Download | auf  teilen



Ableiten wie im Abi (II)

 m13v0429  Dies ist der zweite Teil der Miniserie "Ableiten wie im Abi". Die Ableitung solcher Funktionen solltest du im Abi ohne Probleme bewältigen können. Bei diesen Aufgaben kommen e-Funktionen als Faktoren vor, und du solltest schnell erkennen können, wann die Kettenregel und wann die Produktregel anzuwenden ist... | Skript zum Download | auf  teilen




Ableitung gegeben: wo hat die Funktion f Extrem- und Wendestellen (knifflig) (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0493  Dies ist eine interessante Aufgabe über das Zusammenspiel zwischen einer Exponentialfunktion mit innerer Funktion, und außerdem über das Zusammenspiel von dieser verketteten Funktion und ihren Ableitungen. Welche Schlussfolgerungen lassen sich bezüglich Extrem- und Wendestellen ziehen? Eine ähnliche Aufgabe kam im hilfsmittelfreien Teil einer Abiturklausur dran. | auf  teilen



Die Ableitung von x hoch x

 m13v0328  Kommst du drauf, wie man die Funktion f(x)=x hoch x ableitet? - Man braucht einen kleinen Trick... Im Video siehst du, wie es geht. | auf  teilen



Steckbriefaufgaben



Bei einer sogenannten Steckbriefaufgabe wird eine Funktion anhand charakteristischer Eigenschaften (Funktionstyp, Extrem-, Wendepunkte, Nullstellen, Steigungsverhalten etc.) beschrieben, und man soll damit den Funktionsterm der Funktion bestimmen. Dazu werden die angegebenen besonderen Eigenschaften in eine Reihe von Funktionsgleichungen übersetzt, die zunächst noch Unbekannte enthalten. Durch Lösen eines Linearen Gleichungssystem werden diese Unbekannten ermittelt und so letztlich die gesuchte Funktionsgleichung gefunden. Die ersten beiden Videos sind Grundlagenvideos; später kommen noch weitere Beispiele hinzu.



(1.) allgemeine Lösungsstrategie

 m13v0255  In diesem Video lernst du, wie man allgemein an sogenannte Steckbriefaufgaben herangeht. Alternativ spricht spricht man bei diesem Aufgabentyp auch von Rekonstruktion oder Modellierung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften. Die allgemeine Herangehensweise wird an einem Beispiel erklärt, bei dem eine ganzrationale Funktion dritten Grades gesucht wird. | auf  teilen



(2.) Bedingungen aufstellen

 m13v0256  In diesem zweiten Video wird vorgemacht, wie du bei Steckbriefaufgaben die angegebenen Funktionseigenschaften in Bedingungen und Gleichungen übersetzt. Dies ist der wichtigste und oft schwierigste Part bei Steckbriefaufgaben. Mit Hilfe der aufgestellten Gleichungen werden anschließend die Funktionsparameter bestimmt. | auf  teilen



Steckbriefaufgabe Ganzrationale Funktion - Beispiel 1

 m13v0398  Dies ist eine typische Steckbriefaufgabe zur Ermittlung einer ganzrationalen Funktion. | Skript zum Download | auf  teilen



Steckbriefaufgabe Ganzrationale Funktion - Beispiel 2

 m13v0400  Eine weitere Übungsaufgabe zur Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion. | Skript zum Download | auf  teilen



Steckbriefaufgabe Ganzrationale Funktion - Beispiel 3

 m13v0467  Eine weitere Steckbriefaufgabe, bei der der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades gesucht wird. Achsenschnittpunkt, Wendepunkt und eine Eigenschaft der Wendetangente sind gegeben. | Skript zum Download | auf  teilen



Extremwertaufgaben



Zu den wichtigsten Anwendungsaufgaben der Differentialrechnung zählen die sogenannten Extremwertaufgaben. Hierbei gilt es im Anwendungskontext zu untersuchen, wann eine Zielgröße maximal oder minimal (oder allgemein: extremal) wird. Es gibt verschiedene Arten von Extremwertaufgaben. Allen gemein ist, dass man zuerst eine Zielfunktion aufstellen muss - manchmal mit, manchmal ohne Nebenbedingung. Wenn man die Zielfunktion in Abhängigkeit einer Variablen aufgestellt hat, untersucht man diese mit den Mitteln der Differentialrechnung und Analysis auf relative bzw. absolute Extrema. Hier werden verschiedene - oft typische - Extremwertaufgaben präsentiert.



Beispiel 1. Umzäunung mit maximalem Flächeninhalt

 m13v0186  Dies ist ein klassisches Einstiegsbeispiel für Extremwertaufgaben. Die Zielfunktion hängt zunächst von zwei Variablen ab, und man benötigt eine Nebenbedingung, um daraus eine Zielfunktion zu machen, die nur von einer Variablen abhängt. Hier wird ausführlich erklärt, aus welchen Schritten die Lösungsstrategie einer Extremwertaufgabe besteht. | auf  teilen



Beispiel 2: Umzäunung an einer Wand mit maximalem Flächeninhalt

 m13v0187  Eine weitere Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung. Ein rechteckiges Gehege, das an einer Hauswand errichtet wird, soll maximalen Flächeninhalt haben. Dafür stehen 60 Meter Maschendrahtzaun zur Verfügung.  | auf  teilen



Beispiel 3: Schachtel mit maximalem Volumen basteln

 m13v0188  Eine weitere Extremwertaufgabe, diesmal ohne Nebenbedingung. Man soll aus einem rechteckigen Stück Pappe eine Schachtel basteln, die ein möglichst großes Fassungsvermögen hat. | auf  teilen



Beispiel 4: Zylindrische Dose mit minimaler Oberfläche

 m13v0189  Eine weitere Extremwertaufgabe: Hier soll man eine Konservendose mit 800 ml Inhalt so designen, dass die Oberfläche (also der Blechverbrauch) minimal wird.  | auf  teilen



Beispiel 5: Rechteck unter Kurve mit maximalem Flächeninhalt

 m13v0190  Eine weitere Extremwertaufgabe, diesmal wieder ohne Nebenbedingung. Ein Reckeck soll so zwischen x-Achse und einer nach unten geöffneten Parabel eingepasst werden, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.  | auf  teilen



Beispiel 6: Warum man auf Randextrema prüfen muss...

 m13v0194  Ein wichtiger Aspekt von Extremwertaufgaben, der leider oft übersehen wird: In diesem Video wird erklärt, warum man bei Extremwertaufgaben auch die Randwerte des Definitionsbereichs prüfen muss. Hier können die "wahren Extremwerte" lauern. Zunächst die theoretische Erklärung, dann folgt ein Beispiel.  | auf  teilen



Beispiel 7a: Viereck mit maximaler Fläche unter Parabel

 m13v0326  Wieder mal eine Fläche eines Vierecks, die sich aufgrund eines Eckpunktes, der über eine Kurve wandert verändert. In diesem Fall setzt sich die Fläche aus zwei Teilflächen zusammen. In diesem Video werden alle Rechenschritte ausführlich behandelt. In dem nächsten Video wird gezeigt, wie man die Aufgabe mit den Hilfsmitteln des GTRs ganz schnell auch lösen kann.  | auf  teilen





Extremwertaufgabe: Quader mit maximalem Volumen bei gegebener Kantenlänge

 m13v0451  Dies ist ein weiteres Übungsvideo zu Extremwertaufgaben: Mit einem Draht der Länge 36 cm soll eine quaderförmige Säule mit quadratischer Grundfläche konstruiert werden. Dies ist ein Beispiel für eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung - in diesem Fall ist die Gesamtkantenkänge des Quaders geben. | auf  teilen