Differentialrechnung I: Einführung in die Differentialrechnung



In diesem Abschnitt beginnt die Einführung in die Differentialrechnung, ein sehr wichtiges und umfangreiches mathematisches Konzept, das dich bis zum Abi begleiten wird. Im Teil Differentialrechnung I wird der Stoff präsentiert, der üblicherweise in der Einführungsphase behandelt wird. Dies umfasst: (1.) Die Herleitung des Ableitungsbegriffs ausgehend von der mittleren Änderungsrate einer Funktion zur momentanen Änderungsrate. Die mittlere Änderungsrate wird über den Differenzenquotienten bestimmt und beschreibt die Änderung über ein Intervall. Durch die Grenzwertbildung, bei der das betrachtete Intervall unendlich klein wird, gelangt man von Differenzenquotienten zum Differentialquotienten und damit zur Ableitung. (2.) Herleitung und Anwendung der grundlegenden Ableitungsregeln. (3.) Verwendung der Differentialrechnung zur Funktionsuntersuchung. (4.) Bestimmung von Tangenten und Normalengleichungen.
In der Einführungsphase betrachtet man üblicherweise nur ganzrationale Funktionen und die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus. In dem späteren Kaptitel Differentialrechnung II wird der Stoff behandelt, der in der Qualifikationsphase dazukommt.



mittlere Änderungsrate | Sekantensteigung | Differenzenquotient

 m13v0257  Bevor es mit der Differentialrechnung richtig losgeht, müssen wir zunächst über die mittlere Änderungsrate einer Funktion sprechen. Dies ist ein Wert, der beschreibt, wie sich der Verlauf eines Graphen auf einem Intervall - also zwischen zwei Graphenpunkten - ändert. Man legt dazu eine Gerade - die *Sekante* - durch die beiden Graphenpunkte und bestimmt deren Steigung mit Hilfe des sogenannten *Differenzenquotienten*. Du wirst sehen, dass die Begriffe mittlere Änderungsrate, Sekantensteigung und Differenzenquotient Synonyme für die gleiche Sache sind.  | auf  teilen



Ableitung | momentane Änderungsrate | Tangentensteigung | Differentialquotient

 m13v0258  Im vorigen Video hast du den Differenzenquotient kennengelernt, mit dem man die mittlere Änderungsrate einer Funktion bestimmt. In diesem Video lernst du, wie man durch Verkleinerung des Intervalls allmählich zur momentanen Änderungsrate gelangt. Der Differenzenquotient geht dabei in den Differentialquotienten über. Dies führt zur Einführung des Ableitungsbegriffs. | auf  teilen



Im Folgenden geht es um die konkrete Berechnung des Differentialquotienten - also der Ableitung. Von den beiden vorgestellten Methoden ist die h-Methode die häufiger in der Schule angewandte Methode.



Ableitung mit der h-Methode berechnen (Differentialquotient)

 m13v0029  Die sogenannte h-Methode zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle durch Grenzwertberechnung des Differentialquotienten. | auf  teilen



Ableiten mit der x0-Methode (inklusive Polynomdivision)

 m13v0259  In diesem Video lernst du, wie man mit Hilfe der sogenannten x0-Methode die Ableitung einer Funktion berechnet. Du wirst sehen, dass man bei der Anwendung der x0-Methode üblicherweise eine Polynomdivision durchführen muss, um den Bruch zu vereinfachen und den Grenzwert berechnen zu können. An einem Beispiel wird das alles ausführlich vorgemacht.  | auf  teilen



Wenn ihr in der Schule einige ganzrationale Funktionen die Ableitungen mit Hilfe des Differentialquotienten (z.B. mit Hilfe der h-Methode) bestimmt habt, werdet ihr beim Vergleich von Ausgangs- und Ableitungsfunktion schon bald ein "Muster" erkennen. Aus diesem "Muster" lassen sich einige grundlegende Ableitungsregeln ableiten, mit denen man aber auch kompliziertere Funktionen, wie Wurzelfunktionen und einfache Bruchfunktionen ableiten kann... Die nächsten Videos behandeln diese Ableitungsregeln. Diese grundlegenden Ableitungsregeln sind sehr wichtig - absolutes Grundwissen der Oberstufenmathematik.



Ableitungsregeln (1): Summenregel, Faktorregel, Potenzregel, Konstantenregel

 m13v0156  In diesem Video werden die grundlegenden Ableitungsregeln erklärt, die du bis zum Ende der Einführungsphase kennen solltes. Mit diesen Regeln kann man ganzrationale Funktionen ableiten.  | auf  teilen



Die grundlegenden Ableitungsregeln, die wir soeben für ganzrationale Funktionen besprochen haben, lassen sich sehr einfach für andere Funktionen ausdehen, die sich auch als Potenzfunktionen schreiben lassen: dies sind einfache Bruchfunktionen und Wurzelfunktionen.



Ableiten von einfachen Wurzelfunktionen

 m13v0195  In diesem Video wird gezeigt, wie du einfache Wurzelfunktionen ableiten kannst, nachdem du sie in die Potenzschreibweise umgeschrieben hast. Diese Funktionen haben alle Grundkurs-Niveau.  | auf  teilen



Ableiten von einfachen Bruchfunktionen, rationalen Funktionen, Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

 m13v0192  In diesem Video wird gezeigt, wie du einfache Bruchfunktionen ableiten kannst, nachdem du sie in die Potenzschreibweise umgeschrieben hast. Diese Funktionen haben alle Grundkurs-Niveau.  | auf  teilen



Wichtige Aufgabentypen zur Ableitung



Aufgaben Ableitung | Welche Steigung hat f an gegebener Stelle? Wo hat f die gegebene Steigung m?

 m13v0319  In diesem Video werden zwei wichtige Aufgabentypen zu Ableitungen besprochen: 1) Wie ermittelt man die Steigung einer Funktion f an einer gegebenen Stelle? und 2) An welchen Stellen hat die Funktion f eine gegebene Steigung m? Weil diese Aufgabentypen dieselbe Sache von verschiedenen Seiten betrachten, wird dies schon mal gerne verwechselt. Dieses Video soll Klarheit bringen. Und das Gute ist: die Vorgehensweise ist dieselbe, egal, um welche Art von Funktion des sich handelt. | auf  teilen



Funktionsuntersuchung mittels Ableitungen



In den nächsten Videos erfährst du, dass sich bestimmte Eigenschaften einer Funktion in bestimmten Eigenschaften in der Ableitungsfunktion widerspiegeln - und umgekehrt. Dazu vergleichen wir zunächst die Graphen von Funktionen mit den Graphen ihrer entsprechenden Ableitungsfunktionen. Die Beziehungen, die wir bei dieser Gegenüberstellung herausfinden, werden wir anschließend systematisch einsetzen, Funktionseigenschaften und charakteristische Punkte von Funktionen rechnerisch mit Hilfe von Ableitungen zu bestimmen.



Graphisches Ableiten (I): Funktion f gegeben, Ableitung f' gesucht

 m13v0200  In diesem Video wird gezeigt, wie man anhand des gegebenen Funktionsgraphen der Funktion f den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion f' ermitteln kann. Dieses graphische Ableiten ist ein häufiger und wichtiger Aufgabentyp, weil hierdurch der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung geübt werden kann. | auf  teilen



Graphisches Ableiten (II): Ableitungsfunktion f' gegeben, eine mögliche Ausgangsfunktion f gesucht

 m13v0201  In diesem Video geht es um die die Umkehrung des graphischen Ableitens. Es ist der Graph einer Ableitung f' gegeben und man soll einen Graphen einer möglichen Ausgangsfunktion f finden.  | auf  teilen



Die nachfolgenden Videos behandeln, wie man spezielle Funktionseigenschaften (Monotonie, Krümmung) und charakteristische Punkte (relative Hoch-, Tief-, Sattelpunkte und Wendepunkte) mit Hilfe von Ableitungen berechnet. Zunächst gibt es jeweils ein Theorievideo, dann folgt ein Video mit Rechenbeispiel.



(1.) Monotonieverhalten von Funktionen und die erste Ableitung

 m13v0272  In diesem Video erfährst du, was man unter dem Monotonieverhalten einer Funktion versteht und wie man die erste Ableitung nutzen kann, das Monotonieverhalten einer Funktion zu untersuchen.  | auf  teilen



(2.) Monotonieverhalten untersuchen (Beispiele)

 m13v0273  In diesem Video wird an mehreren Beispiele vorgemacht, wie man das Monotonieverhalten einer Funktion untersucht.  | auf  teilen



(3.) Extrempunkte bestimmen, notwendiges und hinreichendes Kriterium

 m13v0274  Dieses Video behandelt die Theorie der Extrempunktbestimmung mit Hilfe von Ableitungen. Hier wirst du die wichtigen Begriffe *notwendiges Kriterium* und *hinreichendes Kriterium* kennenlernen. | auf  teilen



(4.) Extrempunkte bestimmen (Beispiele)

 m13v0275  Hier wird die rechnerische Bestimmung von relativen Extrempunkten am Beispiel einfacher ganzrationaler Funktionen vorgemacht.  | auf  teilen



(5.) Krümmung und Wendepunkte

 m13v0276  In diesem Video wird erklärt, was man unter dem Krümmungsverhalten einer Funktion versteht und wie man dies mit Hilfe der zweiten Ableitung untersuchen kann. Außerdem lernst du Wendepunkte als charakteristische Punkte eines Funktionsgraphen kennen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert.  | auf  teilen



(6.) Wendepunkte und Sattelpunkte bestimmen

 m13v0277  In diesem Video wird an Beispielen vorgemacht, wie man Wendepunkte und das Krümmungsverhalten einer Funktion rechnerisch bestimmt. | auf  teilen



(7.) Funktionsuntersuchung: Extrempunkte | Wendepunkte | Sattelpunkte | Monotonie | Krümmung

 m13v0278  Dieses Video fasst noch einmal übersichtlich zusammen, wie man mit Hilfe der ersten bis dritten Ableitung das Monotonieverhalten, relative Extrempunkte, Krümmungsverhalten und Wendepunkte einer Funktion bestimmen kann. | auf  teilen



relative und absolute Extrempunkte, Randextrema (Übung)

 m13v0456  Hier geht es um den Unterschied von lokalen, relativen Extrema (mit waagerechter Tangente) und Extrema an dem Rändern eines vorgegebenen Definitionsbereichs (sogenannte Randextrema). An Randextrema müssen nicht unbedingt eine waagerechte Tangente haben, sind aber die höchsten bzw. niedrigsten Punkte auf einem betrachteten Intervall.  | auf  teilen




Nachfolgend einige Videos zur Funktionsuntersuchung.



Mögliche Anzahl Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen bei ganzrationaler Funktion vom Grad n

 m13v0446  In diesem Video wird besprochen, wie viele Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte man für eine ganzrationale Funktion vom Grad n erwarten kann und welcher Zusammenhang für die Anzahl dieser charakteristischen Punkte besteht. In diesem Video findest du Antworten auf typische Klausuraufgaben wie: Wie viele Wendestellen hat eine Funktion 3. Grades? Wie viele Extrempunkte kann eine Funktion 4. Grades haben? usw. | auf  teilen



Übung: Ableitung in faktorisierter Form gegeben; Hoch-, Tief- und Sattelpunkte bestimmen

 m13v0279  Auch bei dieser Übungsaufgabe soll man mit Hilfe der Ableitungsfunktion Aussagen über charakteristische Punkte wie Extrem- und Sattelpunkte gemacht in der Ausgangsfunktion f machen. In diesem Fall ist die Ableitungsfunktion in faktorisierter Form gegeben, was die Untersuchung sogar einfacher macht. | Skript zum Download | auf  teilen



Funktionseingeschaften untersuchen (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0374  In diesem Übungsvideo geht es um die Untersuchung von Funktioneigenschaften (Extrempunkte, Tangente, Krümmung) mit den Mitteln der Differentialrechnung. Dies ist ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen"; eine ähnliche Aufgabe wurde im Abi des Landes Bayern von 2018 gestellt. | Skript zum Download | auf  teilen



Wendepunkt, Tangente, Normale, Graphentransformation (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0375  Bei dieser Aufgabe soll man zeigen, dass der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion auf einer gegebenen Gerade liegt und dass diese Gerade die Normale durch den Wendepunkt ist. Außerdem soll man den Graphen der Funktion verschieben und eine Gleichung der verschobenen Gleichung angeben. | Skript zum Download | auf  teilen



Tangente und Normale



Ein häufiger Aufgabentyp stellt die Bestimmung der Gleichung von Tangenten und Normalen dar. Tangenten sind Geraden, die sich im Berührpunkt perfekt an den Graphen einer Funktion anschmiegen. Dieses perfekte Anschmiegen kommt dadurch zustande, dass Tangente und Funktion im Berührpunkt dieselbe Steigung haben. Eine Normale ist eine Gerade, die im Berührspunkt senkrecht zur Tangente verläuft.



Tangente und Normale (1): Tangentengleichung aufstellen - Schritt für Schritt

 m13v0202  In diesem Video wir ausführlich an einem Beispiel erklärt, wie man die Tangentengleichung aufstellt.  | auf  teilen



Tangente und Normale (2): allgemeine Tangentengleichung herleiten

 m13v0203  In diesem Video wird die allgemeine Tangentengleichung hergeleitet.  | auf  teilen



Tangente und Normale (3): Normalengleichung aufstellen

 m13v0204  In diesem Video wird gezeigt, wie man die Gleichung einer Normalen aufstellt. Die Normale steht im Berührpunkt senkrecht zur Tangenten.  | auf  teilen



Tangente und Normale (4): allgemeine Normalengleichung herleiten

 m13v0205  In diesem Video wird die allgemeine Normalengleichung hergeleitet.  | auf  teilen




Wendetangente aufstellen

 m13v0442  In diesem Video wird ein wichtiger Aufgabentyp behandelt: Das Aufstellen der Gleichung einer Wendetangente. Eine Wendetangente ist eine Tangente durch den Wendepunkt. Dazu muss man (1.) den Wendepunkt der Funktion bestimmen, dann (2.) die Steigung der Funktion an der Wendestelle über die Ableitung ermitteln und schließlich (3.) aus Punkt und Steigung die Geradengleichung aufstellen. Im Video wird das Vorgehen am Beispiel einer ganzrationalen Funktion vorgemacht, doch im Prinzip lässt sich das Verfahren auf jeden Funktionstyp übertragen.  | auf  teilen



Von einem (externen) Punkt aus Tangente an den Graphen einer Funktion legen. Tangentengleichung aufstellen (Methode 1)

 m13v0443  In diesem Video wird gezeigt, wie man von einem Punkt aus, der selbst nicht auf dem Graphen der Funktion liegt, Tangenten an die Funktion legt und die zugehörigen Tangentengleichungen bestimmt. In einem weiteren Video wird eine weitere Methode gezeigt.  | auf  teilen




Nachweisen, dass bei Funktion 3. Grades die Wendestelle genau in der Mitte zwischen Extremstellen liegt

 m13v0460  In diesem Video wird gezeigt, wie man nachweisen kann, dass bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades der Wendepunkt immer genau zwischen den Extrempunkten liegt (sofern des Extremstellen gibt). Dazu wird eine allgemeine Funktion 3. Grades betrachtet und dann mittels der ersten bis dritten Ableitung auf Extrem- und Wendestellen untersucht... | auf  teilen



Newton-Verfahren zur näherungsweisen Nullstellenbestimmung. Herleitung der Formel und Anwendungsbeispiel

 m13v0435  Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen. Es beruht auf die wiederholte Anwendung einer Iterationsformel, bei dem das Ergebnis der Rechnung wieder in die Formel eingesetzt wird. So kommt man ausgehend von einem Startwert (und wenn der Algorithmus funktioniert) immer näher an die wahre Nullstelle heran. In dem Video wird die Formel hergeleitet und die Anwendung vorgemacht. | auf  teilen



Situationen, in denen das Newton-Verfahren nicht funktioniert

 m13v0436  In dem ersten Video dieser Serie hatten wir die Herleitung des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstelle einer Funktion besprochen. In diesem Video besprechen wir die Fälle, bei denen das Newton-Verfahren nicht funktioniert und schauen uns an Beispielen und Graphen an, was genau dann nicht funktioniert. In Prüfungen wird immer wieder gerne nach solchen Fällen gefragt.  | auf  teilen



Die folgenden Videos sind Übungsaufgaben zur weiteren Vertiefung des oben behandelten Stoffs.



Funktionseigenschaften und Ableitung (Fragen 1-3)

 m13v0036  Überprüfe Dein Wissen - "Mathematisches Schnellkraft-Training" Beantworte die Fragen zum Zusammenhang von Funktionseigenschaften und Ableitung Nach Vorstellung der Aufgabenstellung kannst du das Video pausieren und die Aufgabe lösen; anschließend kannst du dir die Lösung anschauen.  | auf  teilen



Funktionseigenschaften und Ableitung (Frage 4)

 m13v0037  Teil 2 des "mathematischen Schnellkrafttrainings"... | auf  teilen



Funktionseigenschaften und Ableitung (Frage 5a-e)

 m13v0038  Teil 3 des "mathematischen Schnellkrafttrainings" ... | auf  teilen



Aufgabe Nullstellen | Extrempunkt | Sekante | Tangente (Teil 1)

 m13v0218  Übungsaufgabe aus der Einführungsphase zu den Themen: Nullstellen, Extrempunkt bestimmen, Sekantengleichung und Tangentengleichung aufstellen. Diese Aufgabe könnte so zum Beispiel in der Zentralen Klausur am Ende der Einführungsphase im hilfsmittelfreien Teil gestellt werden.  | auf  teilen



Aufgabe Nullstellen | Extrempunkt | Sekante | Tangente (Teil 2)

 m13v0219  Übungsaufgabe aus der Einführungsphase zu den Themen: Nullstellen, Extrempunkt bestimmen, Sekantengleichung und Tangentengleichung aufstellen. Diese Aufgabe könnte so zum Beispiel in der Zentralen Klausur am Ende der Einführungsphase im hilfsmittelfreien Teil gestellt werden.  | auf  teilen




Prüfen, ob sich zwei Graphen in einem gemeinsamen Punkt berühren

 m13v0431  In diesem Video wird gezeigt, wie man prüft, ob sich die Graphen zweier Funktionen an einer vorgegebenen Stelle/einem vorgegebenen Punkt berühren. Dies ist eine typische Aufgabe zur Anwendung der Ableitung. Zwei Funktionen berühren sich an einer Stelle x0, wenn dort ihre Funktionswerte und ihre Steigungen übereinstimmen. | auf  teilen



Untersuchen, ob sich Graphen von Funktion IRGENDWO berühren; Berührtangente bestimmen

 m13v0433  Nachdem in dem vorigen Video gezeigt wurde, wie man untersucht, ob sich zwei Graphen an einer gegebenen Stelle oder Punkt berühren, wird hier jetzt der allgemeinere Fall behandelt: Berührstellen bzw. -punkte von Grund auf Suchen und Berührtangente aufstellen. | auf  teilen